第22讲 典型例题与练习参考解答：不定积分概念、性质与基本计算法
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第22讲：不定积分基本概念、性质与基本计算法
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算以下不定积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12) .
(A) (B)
(C) (D)
证明： .
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算以下不定积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12) .
【参考解答】：由不定积分基本公式与运算性质，得
练习2：若是 的原函数，求 .
【参考解答】：由题设可知
代入积分式，得
练习3：若 是 的原函数，计算 .
【参考解答】：由题设可知，所以
于是可得
代入积分式得
练习4：若 的导函数为 ，则 的一个原函数为( )
(A) (B)
(C) (D)
【参考解答】：正确选项为【B】. 因为，则
进一步可知的一个原函数为
当取，得选项为【B】.
练习5：已知一个函数的导函数为 且当 时， ，试求这个函数.
【参考解答】：函数连续，所以在上存在原函数，且
因此，当 时，
当 时，
由原函数的连续性，可得 . 所以有
当，得 ，所以所求函数为
练习6：求如下分段函数的不定积分．
【参考解答】：当 时，
当 时
由于原函数可微必连续，且设原函数为，则
则，于是
练习7：已知有如下等式，求其中的常数 ：
【参考解答】：两边关于 求导，得
比较分子得
练习8：设是 内的可微函数，且对任意 ，有
证明： .
【参考解答】：令 ，得. 改写已知等式，有
于是令 ，取极限得
两端取不定积分，得
代入，得 . 故
练习9：汽车在高速公路上以每小时90km/h的速度匀速行驶，在400m处看见前方出现了事故立即刹车．求汽车以匀加速度刹车时需要多长时间才能在离事故现场25米处停车？
【参考解答】：由题设可知
将 代入，得 . 又
故
由 ，得 . 即
联立方程组
即要30秒汽车才能在离事故现场25米处停车.
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