4-4坐标系与参数方程知识脉络与典型题例

4-4坐标系与参数方程知识脉络与典型题例

þ 知识总结

一、平面直角坐标系

1．平面直角坐标系

(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．

(2)平面直角坐标系：

①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；

②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；

③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；

④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；

⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．

(3) 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，线段P₁P₂的中点为P，填表：

两点间的距离公式	中点P的坐标公式
|P1P2|＝

2.平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

二、极坐标系

1.极坐标系定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

2．极坐标：

(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．

若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．

3．极坐标与直角坐标的互化公式

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．

(1)极坐标化直角坐标 ；(2)直角坐标化极坐标

三、简单曲线的极坐标方程

1．曲线的极坐标方程

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

2．圆的极坐标方程

(1)特殊情形如下表：

圆心位置	极坐标方程	图　形
圆心在极点(0，0)	ρ＝r (0≤θ<2π)
圆心在点(r，0)	ρ＝2rcos_θ (－≤θ<)
圆心在点(r，)	ρ＝2rsin_θ (0≤θ<π)
圆心在点(r，π)	ρ＝－2rcos_θ (≤θ<)
圆心在点(r，)	ρ＝－2rsin_θ (－π<θ≤0)

(2)一般情形：设圆心C(ρ₀，θ₀)，半径为r，M(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM|＝r，

∠COM＝|θ－θ₀|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ²－2ρ₀ρcos(θ－θ₀)＋ρ－r²＝0即

3．直线的极坐标方程

(1)特殊情形如下表：

直线位置	极坐标方程	图　形
过极点，倾斜角为α	(1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)
过点(a，0)，且与极轴垂直	ρcos_θ＝a
过点，且与极轴平行	ρsin_θ＝a (0<θ<π)
过点(a，0)倾斜角为α	ρsin(α－θ)＝asin α (0<θ<π)

(2)一般情形，设直线l过点P(ρ₀，θ₀)，倾斜角为α，M(ρ，θ)为直线l上的动点，则在△OPM中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为 ρsin(α－θ)＝ρ₀sin(α－θ₀)．

四、曲线的参数方程

1．参数方程的概念

(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

(2)参数的意义：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．

2．参数方程与普通方程的区别与联系

(1)区别：普通方程F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有x，y两个变量；参数方程(t为参数)间接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有三个变量t，x，y，其中x和y都是参数t的函数．

(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t的一个值，就可以求出唯一对应的x，y的值．

这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．

3．圆的参数方程

（1）圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程

如图圆O与x轴正半轴交点M₀(r，0)．

(1)设M(x，y)为圆O上任一点，以OM为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数方程是(θ为参数)．

其中参数θ的几何意义是OM₀绕O点逆时针旋转到OM的位置时转过的角度．

(2)设动点M在圆上从M₀点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM₀经过时间t转过的角θ＝ωt，则以t为参数的圆O的参数方程为(t为参数)．

其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．

（2）圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程

圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r的圆通过坐标平移得到，所以其参数方程为(θ为参数)．

4．参数方程和普通方程的互化

曲线的参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．

(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．

(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，其次将x＝f(t)代入普通方程解出y＝g(t)，则(t为参数)就是曲线的参数方程．

(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．

五、圆锥曲线的参数方程

1．椭圆的参数方程

六、直线的参数方程

1．直线的参数方程

经过点M₀(x₀，y₀)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．

2．直线的参数方程中参数t的几何意义

(1)参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M₀的距离．

(2)当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．当与e反向时，t取负数，当M与M₀重合时，t＝0．

3．直线参数方程的其他形式

对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M₀(x₀，y₀)，倾斜角为α的直线，选取参数t＝M₀M得到的参数方程(t为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t有明确的几何意义．

一般地，过点M₀(x₀，y₀)，斜率k＝(a，b为常数)的直线，参数方程为(t为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义．

þ 题型归纳

题型一：极坐标与直角坐标的互化。互化原理（三角函数定义）、数形结合。

1．在直角坐标系

中，直线

的参数方程为

（

为参数），以

为极点，

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线

的极坐标方程为

.

（1）把曲线

的极坐标方程化为普通方程；

（2）求直线

与曲线

的交点的极坐标（

）.

试题解析：（1）由

得

，两边同乘以

，得

；

（2）由直线

的参数方程为

（

为参数），得直线的普通方程为

，联立曲线

与直线

的方程得，

或

，化为极坐标为

或

.

考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化.

考点：

，

.

2．在极坐标系中，设圆

经过点

，圆心是直线

与极轴的交点，求圆

的极坐标方程．

试题解析：

法一：

转化为直角坐标为：

直线

的直角坐标方程为：

它与

轴的交点也就是圆心为

所以

所以圆的方程为

，得

所以，圆的极坐标方程为：

法二：因为圆心为直线

与极轴的交点，所以令

，得

，即圆心是

又圆

经过点

，

圆的半径

，

圆过原点，

圆

的极坐标方程是

．

考点：（1）转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；

（2）先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标方程.

题型二：曲线（圆与椭圆）的参数方程。

（1）普通方程互化和最值问题。“1”的代换（

）、三角解决。

3．已知曲线

的参数方程是

，以坐标原点为极点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

的极坐标分别为

.

（Ⅰ）求直线

的直角坐标方程；

（Ⅱ）设

为曲线

上的点，求点

到直线

距离的最大值.

试题解析：

（Ⅰ）将

、

化为直角坐标为

，

即

，

，

∴直线

的方程为

，即

．

（Ⅱ）设

，它到直线

的距离为

，

（其中

），

∴

．

考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值．

4．已知曲线

的极坐标方程是

，直线

的参数方程是

（

为参数）．设直线

与

轴的交点是

，

是曲线

上一动点，求

的最大值.

试题解析：曲线

的极坐标方程可化为

.

又

，

所以曲线

的直角坐标方程为

.

将直线

的参数方程化为直角坐标方程，得

，

令

，得

，即

点的坐标为（2，0）.

又曲线

的圆心坐标为（1，0），

半径

，则

， 所以

.

法二：设N的坐标为

.

所以

考点：极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系

5．已知在平面直角坐标系

中，直线

的参数方程是

是参数） ，以原点

为极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程为

.

（1）判断直线

与曲线

的位置关系；

（2）设

为曲线

上任意一点，求

的取值范围.

试题解析：（1）直线

的普通方程为

，

曲线

的直角坐标系下的方程为

，

因为圆心

到直线

的距离为

,

所以直线

与曲线

的的位置关系为相离.

（2）设点

，

则

.

考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程.

6．已知平面直角坐标系

，以

为极点，

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，

点的极坐标为

，曲线

的参数方程为

（

为参数）.

（1）写出点

的直角坐标及曲线

的直角坐标方程；

（2）若

为曲线

上的动点，求

中点

到直线

的距离的最小值.

试题解析：（1）点

的直角坐标

，由

，得

，

所以曲线

的直角坐标方程为

.

（2）曲线

的参数方程为

（

为参数），直线

的普通方程为

，

设

，则

，那么点

到直线

的距离

，

所以点

到直线

的最小距离为

.

考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到直线的距离．

（2）公共点问题。联立求解判别式，直线与圆d与r。

7．在直角坐标系中曲线

的参数方程为

（

为参数）．若以直角坐标系中的原点

为极点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程为

．

（1）求曲线

的普通方程和曲线

的直角坐标方程；

（2）若曲线

与曲线

有公共点，求实数

的取值范围．

试题解析：（1）由

得

，

又由

得

，

所以曲线

的普通方程为

，即

，

又易知

，∴曲线

的普通方程为

，

．

由

得

，

所以

，所以曲线

的直角坐标方程为

．

（2）当直线

过点

时，与曲线

有公共点，此时

，从该位置向左下方平行移动直到与曲线

相切总有公共点，联立

得

，

，令

，解得

．∴

．∴所求实数

的取值范围是

．

考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、直线与抛物线的位置关系．

8．在直角坐标系

中，直线

的参数方程为

（

为参数）．在极坐标系（以原点

为极点，以

轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系

取相同的长度单位）中，圆

的方程为

．

（Ⅰ）求圆

的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线

与圆

相切，求实数

的值．

试题解析：

（Ⅰ）由

，

∴圆

的直角坐标方程为

（或

）；

（Ⅱ）直线

的参数方程为

，

∵圆

的圆心为

，半径

，

由直线

与圆

相切，得

或

．

考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

9．在极坐标系中，直线

的极坐标方程为

，以极点为原点极轴为

轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线

的参数方程为

为参数，且

).

（1）写出直线

的直角坐标方程和曲线

的普通方程；

（2）若直线

与曲线

有两个公共点，求

的取值范围.

试题解析：（1）由直线

的极坐标方程得：

，

即直线

的直角坐标方程为：

，

由曲线

的参数方程

为参数，且

).

得：

（2）设曲线

上任意一点为

，则

，

直线

与曲线

有两个公共点，

.

考点：极坐标系，参数方程，直角坐标方程的转换.

题型三：直线参数方程（t的几何意义）。定点到动点的距离。

定标图号联、韦达三定理。

、

、

10．在直角坐标系

中，直线

的参数方程为

，（

为参数），在极坐标系（与直角坐标系

取相同的长度单位，且以原点

为极点，以

轴正半轴为极轴）中，圆

的极坐标方程为

.

（1）求圆

的直角坐标方程；

（2）设圆

与直线

交于点

，若点

的坐标为

，求

.

试题解析：（1）由

，得

，即

.

（2）将

的参数方程代入圆

的直角坐标方程，

得

，

即

.

由于

，故可设

，是上述方程的两实根，

所以

，

又直线

过点

，故由上式及

的几何意义得

.

考点：1.曲线的极坐标方程和普通方程的转化；2.直线的参数方程的应用．

11．在直角坐标系

中，过点

的直线

的斜率为1，以坐标原点为极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程为

,直线

和曲线

的交点为

．

（1）求直线

的参数方程；

（2）求

试题解析：（Ⅰ）由条件知，直线

的倾斜角

，所以

.

设点

是直线

上的任意一点，点

到点

的有向向量为

，

则

（Ⅱ）曲线

的直角坐标方程为

,由此得

,

即

.

设

为此方程的两个根，因为

和

的交点为

，

所以

分别是点

所对应的参数，

由韦达定理得

=

考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程

12．在直角坐标系

中，以原点为

极点，以

轴正半轴为极轴，圆

的极坐标方程为

.

（1）将圆

的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）过点

作斜率为1直线

与圆

交于

两点，试求

的值.

试题解析：（1）由

，可得

，

∴

，∴

，即

（2）过点

作斜率为

的直线

的参数方程为

（

为参数）.

代入

得

，

设点

对应的参数分别为

，则

，

.

由

的几何意义可得

.

（注：此题也可直接求

两点坐标，再用两点间的距离公式求出

,

.）

考点：1.曲线的极坐标方程、参数方程和普通方程的转化；2.直线与圆的位置关系．

13．在直角坐标系

中，直线

的参数方程为

（

为参数），在极坐标系（与直角坐标系

取相同的长度单位，且以原点

为极点，以

轴非负半轴为极轴）中，圆

的方程为

.

（1）求圆

的直角坐标方程；

（2）若点

，设圆

与直线

交于点

，求

的最小值.

试题解析：（1）由

得

，化为直角坐标方程为

，即

；

（2）将

的参数方程代入圆

的直角坐标方程，得

由

，故可设

是上述方程的两根，

所以

，又直线过点

，故结合

的几何意义得

所以

的最小值为

考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程在求最值中的应用.

题型四。跟踪点参数方程的求法。跟踪点法。

14．在直角坐标系

中,曲线

的参数方程为

,

是

上的动点，点

满足

,记点

的轨迹为曲线

．

（1）求曲线

的方程；

（2）在以

为极点,

轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线

与曲线

的异于极点的交点为

,与曲线

的异于极点的交点为

,求

．

试题解析：（1）设

则由条件知

．由于

在

上,所以

所以

从而

的参数方程为

．

（2）法一：曲线

的极坐标方程为

,曲线

的极坐标方程为

．

射线

与

的交点为

的极径

与

的交点为

的极径

所以

．

法二：垂径定理。

考点：参数方程与直角坐标方程的互化；极坐标方程的应用．

15．在极坐标系中，已知圆C的圆心

，半径r＝3．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．

【答案】（1）

；（2）

．