限定逻辑的表列方法

来源：《重庆理工大学学报》2013年9期 作者：孔红

　　   限定逻辑由McCarthy(1980)[1]创立，随即引起了很多逻辑学家的重视和研究，迅速发展成为包含个体域限定、谓词限定、公式限定等多种不同限定逻辑的内容丰富的非单调逻辑的一个重要分支。限定逻辑与其他非单调逻辑一样，目前仍然存在一些争议和有待解决的问题。限定逻辑最大的困难在于其算法的设计，即在给定的限定之下，如何确定某个句子是否可被推出？针对这个问题，本文介绍命题限定逻辑和公式限定逻辑的两种表列算法。

　　    一、从谓词限定到公式限定

与缺省逻辑、非单调模态逻辑不同，限定逻辑并不引入新的语言表达手段，而是直接在标准逻辑的语言中将常识句形式化进而用经典逻辑的推演刻画非单调推理。McCarthy(1986)[2]借助于一个特殊的谓词Ab(abnormal)来表示常识句。以“鸟会飞”为例，“鸟会飞”可以形式地表示为：

x(Bird(x)∧

Ab(x)→Fly(x))。意思是，如果一只鸟不是反常的，那么它会飞。如果我们现在知道：

那么，怎样才能从(1)和(2)得出Fly(Tweey)的结论？McCarthy(1986)[2]提出的方案是限定谓词Ab，对谓词Ab的限定就是极小化它的外延。对一元谓词P来说，如果a是P的外延中的一个对象，则称a满足P或者a是P的一个实例。当前主体已知的信息用一组句子表示，一个有穷的句子集称为一个理论，其中的每个句子称为“公理”。用T表示一个理论，相对于T极小化谓词P的外延(P出现于T的某个句子中)，直观上说就是断定，就T所提供的信息而言，已知满足P的所有个体就是P全部的实例。P的极小是相对于T的，意味着如果再减少P的外延就会导致与T不一致。上面(1)和(2)提供的信息并没有明确说明有某个个体是反常的鸟，因此，相对于(1)和(2)，Ab的外延极小化为一个空集，于是得到结论：

x(Bird(x)→Fly(x))和Fly(Tweety)。这就是谓词限定逻辑的基本思想。为了从语形方面实现这一思想，McCarthy(1986)[2]给出了谓词限定的定义。

　　    首先约定一些记法。

　　定义3(极小后承)　A是T的P-极小后承，当且仅当A在所有T的P-极小模型上为真。

一个一致的理论可能有一个或多个极小模型，也可能没有极小模型。对于一阶逻辑句子集的某些类型的子集来说，极小模型总是存在的，例如只包含全称公式的全称理论等。因此，关于限定逻辑的研究往往限定在一阶逻辑的某个(通常是可判定的)子集上。如果一个理论T的每一个模型都有一个P-子模型M，使得M是T的P-极小模型，则称T是相对于P的良建理论。研究表明，谓词限定逻辑相对于良建理论的表达能力不够强。例如：T=｛

B3Y111.JPGx(Bird(x)∧

Ab(x)→Fly(x))，

x(Penguin(x)→Bird(x)∧

Fly(x))，Bird(Tweey)｝，T是一个良建理论，在T中限定谓词Ab后，并不能得出我们想要的结论Fly(Tweey)，因为在T中限定Ab并不能反映Ah与Fly这两个谓词之间的关系，存在T的极小模型使得Fly(Tweety)在其中为假。由于谓词限定存在这样一些问题，McCarthy(1986)[2]提出了更为一般的公式限定逻辑，在限定T中的一组谓词的同时，允许其他谓词的外延发生相应的变化，这种限定也称为平行限定(Parallel Circumscription)。

限定逻辑及其极小后承语义最初是在一阶逻辑层面上提出来的，这套方法同样适用于命题限定及命题层面的极小后承语义。在命题逻辑中，被极小化的是一集原子公式。令V和V′是命题逻辑的两个赋值，V≤V′当且仅当，对于所有的命题变元p，如果V(p)=1则V′(p)=1。一个一致的命题集总有其极小模型。将命题层面的极小后承关系记为

当且仅当A在所有T的极小模型上为真。

　　    一个逻辑的表列方法必须以其成熟的语义理论为基础。由于一阶限定逻辑有极小模型的存在性、个体的唯一命名等问题，为一阶限定逻辑设计一种表列算法是非常困难的。Olivetti(1992)[3]给出的命题逻辑极小后承的表列建立了一种寻找极小模型的方法，对于一阶限定逻辑的表列设计具有很强的启发性，因此首先介绍命题限定逻辑的表列演算。