整除和余数（三）

之前我们讲了一些整除的基本技巧，接下来我们要看难一点的——反正就要上班上学了，干脆让坏心情更加的雪上加霜！

我们注意到，被7,11,13整除的基本规律都是可以用最后三位数去减掉其余部分组成的数字，然后看是否能被这三个数整除，而在证明这个性质的时候，我们无意间得到了7,11,13的最小公倍数1001.

也就是说，所有形如abcabc的六位数都可以被这三个数所整除——因为abcabc=1001*abc.

这是一条很有用的性质，一定要补充给孩子。

我们要明白这样一个事实：在几乎所有的考试里，当大家对知识点掌握情况相同的情况下，其实拼的是速度。所以对于一些常用的结论，尽管孩子有能力推导，也一定要让他们背。把数学学成语文当然是一种很功利的做法，但是对考试来说是极为实用的。

像这些零碎的知识点，应该让孩子专门找个本记下来，然后经常翻看，以便能熟练地背诵，这样在考试的时候能节约很多的时间，相信我。

好，我们接着来看今天的例子：

修改数字31743某一位数字，可得到823的倍数，问修改后这个数是多少？

如果你的第一反应是试图找出被823整除的特点，恭喜你，你已经有模有样了。

由于我们没有讲过超过13的数的整除的特点，所以，你该怎么办？

很好！就是看看823能不能分解质因数，变成若干个较小的数之后，然后套用被13以内的数整除的特点！

当然，823.....是个质数。

不要打人，虽然你做了无用功，但是，你真的很棒了！

我们不要害怕走弯路，作为老师，最怕学生就是压根不动。由于现在校内的作业难度持续下降，基本上眼睛一瞟答案出来了，但是稍微难一点的题目学生就懒得动笔，就盯着题目看，那你能看出个什么鬼来？！

所以要让孩子们动笔，像这个例子里，你就是试验823是不是质数也要花那么一点点的时间呢。笔头不勤，数学一定是学不好的。

好，那么接下来又到了关键点：怎么拐弯呢？

我们仔细看看，发现这个题目除了823的整除性质不明确之外，到底修改了哪个数字也是不知道的。如果我们逐个进行试验，理论上至多要44次才能试出来，这显然并不是件很靠谱的事情。

不过因为823这个数字很大，所以这个数被五位数除之后，得到的范围也并不会太大。10000÷823约等于12,99999÷823约等于121，所以我们试验大概110次。。。算了，我们还是考虑44次这事吧！

于是我们再回头看题目，接下来的目标自然就是缩小试验的次数。怎么缩小呢？

我们发现，对31743这个数字来说，固定的数字越多，那么需要猜的范围就越小，如果我们假定首位数字3不变，那么一下子就可以缩小范围：

30000/823约等于36，而39999/823约等于49，转眼就把范围缩小到14个数了，当然，这时候我们就可以挨个试了，工作量也变得不是那么大。

但是，我们还有更快的办法。

如果假设最后一位数没动，那么这时候变更过的数字应该是3XXX3，由于除数是823，所以商应该是Y1的形式，在36到49之间，只有41满足，一试验即得41*823=33743，题目就做完了。

问题来了，那如果恰好改的是最后一位数呢？

我们用31743去除以823，得到的结果约等于38.57，所以把末位数不管改成多少也不可能被823整除。

那。。。如果恰好是首位被改了呢？我们就用21到111都乘一遍呗。。。

最后总结两句话：大胆假设，小心求证！

下课！