面积计算（二十四）

四边形中有一类求面积是比较难的：顶点和对边上的点连线，然后交织出的阴影部分的面积问题——特别是四边形本身还不是规则的四边形。

我们再回忆一下上一节中的例子：

E，F是AB和CD的中点，则四边形BEDF的面积是四边形ABCD的一半。本节中我们将反复使用这个结论——所以也强烈建议把这个作为常用结论记住。

接下来我们来看一些例子。

例：在四边形ABCD中，E，F分别是AD与BC边上的中点，已知△AMB和△DNC的面积分别为9和13，求四边形FNEM的面积。

是不是感觉就应该是22？

下一个问题就是：怎么做？

如果三十秒内看不出来，我觉得我教的很失败。

没错，又回到了之前我们提到的常见模型！我们把这个图拆成两部分，第一部分观察四边形AECF，这是ABCD的一半；再观察EDFB，这也是ABCD的一半，于是根据前面类似的讨论，马上可以得到FNEM的面积就是△AMB和△DNC的面积和，即22。

你想的一点没错，这就是热热身。

我们再来看一个例子。

例：在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、DC、CB、BA边上的中点，连接BE、DG、AF、HC，已知△AEP、△DQF、△RGC、△HSB的面积分别为7、10、9、6，求阴影部分面积。

32。

为什么？在这里无非就是对EDBG和AFCH用两次模型而已。

抢答都会了！

同样，我们可以把题目稍作变动，连接BE、DH、DG、BF，然后求中间的DPBQ的面积。想一想，这时候我们需要什么样的条件才能求呢？

现在知道难题是怎么出出来的了吧？

谎言重复一千遍就成了真理，简单的知识点重复三遍就是难题。

我们再来看一个复杂一点的例子。

如图：在梯形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G是边CD的三等分点。△ADG的面积是17，△GEA的面积为31，求△BCF的面积。

你看，两边是中点的会了，现在一边给你搞个中点，一边搞个三等分点。这就是所谓的变一变又不会了的典型。

而且特别可气的是，明知道能用上上面那个让大家熟记的结论，但是就是感觉没地方用——甚至你都能感觉到作中位线都是错误的办法。

怎么办？

我们看能不能把这个化成我们熟知的问题来解决。首先考虑，我们熟悉的问题是什么？没错，把DC上的三等分点换成中点就可以了。那么问题来了，三等分点和中点之间能不能找到什么联系呢？

如果把这条线段六等分会不会有什么用？因为2和3的最小公倍数是6，所以这样做的话，似乎并没有什么用处，因为这样要多出来三个点，而且到底哪些点和这三个点连？看起来辅助线的条数实在是多得吓人，远远超过小学生的心理承受能力，因此不对。

别笑，做题的题感也是解决问题的一种工具。像这样毫无目的性的辅助线，实在不是什么明智的办法。

这时候换思路，怎么换？还是想把三等分点变成中点来对待。我们发现如果去掉1/3，那么剩下的2/3条线段中，不就有一个三等分点变成中点了么？

我们换个角度，把这个图当做一个基本模型，事实上在本题中也可以拆出两个模型：ADFB和AGCB！

这是第一步，当然也是最关键的一步。

如果能看出这个，那么距离题目被解决大概只剩下一半的工作了。我们的目标是求△BCF的面积，根据缺什么设什么，设了什么就知道什么的原则，我们可以令△BCF的面积为x，于是x+31等于△EFB和△GFE的面积和。而△EFB的面积和△ADG的和又等于△AEG和△GEF的面积和。

我们通过简单的计算可以得到△EBF的面积为(x+45)/2，△GEF的面积为(x+17)/2，然后呢？

又卡住了。

当然，做到这里其实已经很不错了，距离最后做出来只差10%了，不过行百里者半九十，这10%还是挺要命的。

现在缺什么？

等式，一个含未知数的等式。

没错，我们还缺一个方程。这个方程该怎么找呢？

我们再介绍一个常用的定理：设E是AB的中点，ABCD是梯形，则△DEC的面积是梯形面积的一半。

这个定理的证明非常简单，可以用中位线的性质很快得到，详细过程留给读者作为练习。

有了这个定理之后，我们发现，△DEC的面积等于3倍的△GEF的面积，又等于整个梯形面积的一半，所以我们可以得到等式：

3×(x+17)/2=[17+31+(x+17)/2+(x+45)/2+x]/2

解得x=28。

你看，化归的作用是不是很厉害？当然，今天补充的这个定理也是小学面积问题中常用的办法，还是很有必要记住的。