应用题综合（七）

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先回答几个经常被问的问题：

1.    怎么才能学好数学？

2.    公众号名字什么意思？

我从事数学学习、研究、教学几十年了，我觉得自己都没学好数学，所以回答不了1.

至于2，是因为我很仰慕我们宁波的英雄张苍水，不过苍水是这位英雄的号，他本名就是张煌言。甬是宁波的简称，愿学忠良发煌煌之言，所以有这里两层意思。

我们接着来看应用题。

一个从小到大排列的等差数列，如果把首项除以2，末项乘以2，那么这些数的平均数增加了7；如果首项乘以2，末项除以2，那么平均数少了2.已知等差数列中所有数的和等于245，求数列的末项。

这个题目是个好题。

熟悉我的朋友都知道，我一说好题，这题目就简单不了。当然，这个题目对小学生来说肯定是有一定的难度的，这是其一；其二，很多家长都问我，贼老师啊，我家的娃做题目脑筋开动不了可咋办？

孟尝君养了三千食客，鸡鸣狗盗之流也是有用的。

是时候给大家穿插着讲一些考试中拼凑的技巧了！

本题正经的做法，自然是按照缺什么设什么的方法，所谓的等差数列就是一组数，后一项减去前一项的值都相等，比如所有的奇数或者偶数都构成等差数列。

题设中，首项、末项、项数都不知道，所以我们可以很丧心病狂地都设上。

设首项是a，末项是b，项数是n，根据第一个条件：如果把首项除以2，末项乘以2，那么这些数的平均数增加了7.也就是说，数的总和多了7n，此时这n个数的和比原来那n个数的和多出来的部分，就是

2b+a/2-(a+b)=b-a/2=7n.

能想出这句话，那么后面一句就好办了，如果首项乘以2，末项除以2，那么平均数少了2意味着：

a+b-(2a+b/2)=b/2-a=2n

我们可以得到a=2n,b=8n.

又知道共有n项，所以可以得到(2n+8n)*n/2=245，即n=7

首项为14，末项为56.

当然，在这里我们已经默认了孩子初步具备了形式运算的能力。现在的问题是：如果考试中是填空题的话，有什么更简便的办法呢？

有的老师挺看不起拼凑的，事实上，大胆猜测小心求证是很可贵的做学问的方法，何况在考试中，如果能凑出答案，对于节省答题时间也是非常有好处的。

这个题目其实很好地展现了凑的技巧。家长如果看到孩子凑的答案是对的，也必要问问这是怎么凑出来的，如果凑的合情合理，我觉得还是很值得鼓励的。

事实上，在本题中唯一一个确定的数字是245，其他都和首项、末项或者项数有关。一般情况，项数、首项、末项应该都是自然数，所以我们可以把245分解成1×245=5×49=7×35.等差数列你弄个245个1肯定不合适吧，所以要么就是5项，大家平均值是49，要么是7项，平均值是35.

如果是5项，那么此时49是第三项，和第一项及第五项之间都差了公差的两倍，所以首、末项均应该是奇数，按照题目条件，先后两次首末项都有除以2的操作，会带着分数出来，但是平均数又是整数，矛盾！

所以只能是7项，平均值35，并且由上面分析可知，公差应该是奇数。而且49=7×7，所以猜公差是7也是很合情合理的。一验算发现确实成立，题目就做完了。

当然，如果娃什么依据都没有直接猜出来答案，那么就多找几个题给他，假设他能像拉马努金那样次次都直接把答案写出来，麻烦帮忙把这期大乐透中奖号码给写一下。。。

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