中考数学压轴题分析：比例与相似问题
见比例则优先考虑相似。
本文内容选自2020年包头中考数学倒数第2题，主要考查相似有关的知识，难度不大。
【中考真题】
（2020·包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．
（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．
①求证：AD＝BD；
②求的值；
（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求的值．
【分析】
题（1）①由平行线的性质和旋转性质得∠B′A′C＝∠A′CA＝∠BAC，得CD＝AD，再证明CD＝BD便可得结论；
题（1）②根据点D是重点，BE与CD垂直，即可得到CE与CD长度，然后就容易得到两个三角形面积的比值了；
题（2）求两个线段的比值，可以考虑用相似或者平行线分线段成比例求得。观察易得B′C与AB平行，所以转化为求AC与CM的比值，只需求出AD与CN的比值即可。利用△CDN为直角三角形，且与△ACD、△ACB都相似，那么所有的边长都可以求得。
【答案】解：（1）①∵A′B′∥AC，
∴∠B′A′C＝∠A′CA，
∵∠B′A′C＝∠BAC，
∴∠A′CA＝∠BAC，
∴AD＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，
∵∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴AD＝BD；
②∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，
∴AB，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠ACB＝90°，
∵∠BCE＝∠ABC，
∴△BEC∽△ACB，
∴，即，
∴CE，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CDAB，
∴CECD，
∴S△ACES△ADE，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△ADE，
∴；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠A′CB′，
∴AB∥CN，
∴△MCN∽△MAD，
∴，
∵，
∴，
∴AD，
∵DM∥A′B′，
∴∠CDN＝∠A′＝∠A，
∴CN＝CD·tan∠CDN＝CD·tanA＝CD·，
∴，
∴．