中考数学压轴题分析:比例与相似问题

见比例则优先考虑相似。

本文内容选自2020年包头中考数学倒数第2题,主要考查相似有关的知识,难度不大。

【中考真题】

(2020·包头)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C,A′C与AB交于点D.
(1)如图1,当A′B′∥AC时,过点B作BE⊥A′C,垂足为E,连接AE.
①求证:AD=BD;
②求的值;
(2)如图2,当A′C⊥AB时,过点D作DM∥A′B′,交B′C于点N,交AC的延长线于点M,求的值.

【分析】

题(1)①由平行线的性质和旋转性质得∠B′A′C=∠A′CA=∠BAC,得CD=AD,再证明CD=BD便可得结论;

题(1)②根据点D是重点,BE与CD垂直,即可得到CE与CD长度,然后就容易得到两个三角形面积的比值了;

题(2)求两个线段的比值,可以考虑用相似或者平行线分线段成比例求得。观察易得B′C与AB平行,所以转化为求AC与CM的比值,只需求出AD与CN的比值即可。利用△CDN为直角三角形,且与△ACD、△ACB都相似,那么所有的边长都可以求得。
【答案】解:(1)①∵A′B′∥AC,
∴∠B′A′C=∠A′CA,
∵∠B′A′C=∠BAC,
∴∠A′CA=∠BAC,
∴AD=CD,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD=90°﹣∠ACD,
∵∠ABC=90°﹣∠BAC,
∴∠CBD=∠BCD,
∴BD=CD,
∴AD=BD;
②∵∠ACB=90°,BC=2,AC=4,
∴AB,
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠ACB=90°,
∵∠BCE=∠ABC,
∴△BEC∽△ACB,
∴,即,
∴CE,
∵∠ACB=90°,AD=BD,
∴CDAB,
∴CECD,
∴S△ACES△ADE,
∵AD=BD,
∴S△ABE=2S△ADE,
∴;
(2)∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°=∠A′CB′,
∴AB∥CN,
∴△MCN∽△MAD,
∴,
∵,
∴,
∴AD,
∵DM∥A′B′,
∴∠CDN=∠A′=∠A,
∴CN=CD·tan∠CDN=CD·tanA=CD·,
∴,
∴.

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