用数学知识，对投资的一些思考
数学的重要性，就不用提了，每个人每天都会用，只是无意识的用，还是有意识的用。在股市，同样也会应用到一些数学知识，至于这些数学知识对投资收益能起到多大作用，就较难评判了，也许压根儿没啥用，但知道一些也没啥坏处，毕竟技不压身。
下面列一些自己觉得，投资中，有那么点儿用的数学知识，也算是自己用数学知识对投资的一些思考。
1. 加减乘除
这么简单的数学知识，还用说？但，我敢保证大部分进入股市的人，不会用加减乘除，那怕你是数学博士！至于原因，我想有两点，一是，进入股市后，很多人的智商被跳动的股价干扰太大，失去了理智，假如一个人坐在一只饿了三天的鳄鱼面前解二元一次方程，这能确保他得到正确答案？二是，缺乏基本的股市和财务等知识，很多股市人，是不太关心市值，股息，营业额，净利润，现金流等等的，买入的股票可能连公司的业务是啥，都不知道。这让他加减乘除个啥？压根就没有应用数学知识的场景。
其实，能够用好“加减乘除”这一招，就可以避免股市中，绝大多数的雷！举个简单的例子，一个公司股价100元，股本10亿股，相乘得市值1000亿，今年净利润10亿，以理想状态假设该公司未来十年，净利润保持20%的复合增长率，并且净利润都是实打实的现金。现在市场报价100元，要不要买？我肯定是不会买的，计算如下：
十年后净利润 = 10*(1+20%)^10 ＝ 62亿（四舍五入了）
现在出价100元，假设我有足够的钱投入1000亿，买下整个公司，十年后能得到62亿，这62亿算实打实的现金，其收益率则为 = 62/1000 = 6.2%。
十年后，才能得到6%的回报，并且还是在理想状态的情况下，有这个钱，为啥不直接买沪深300，省心省力，基本可稳拿8~10%左右的年化回报。
然而现在的事实是，出此价，或更高价买入100PE以上标的，可不在少数。什么打不过就加入，加入你就输了，老老实实，用小学的数学知识，算一算再决策，比轻信某某所谓股神的话靠谱多了。
2. 概率
我们这个世界，如果按照概率来分的话，其实就两件事：随机事件和确定性事件。
确定性事件，就是必然发生的事，比如太阳从东边升起，当然这个也是有时间维度的，因为再等上百亿年，太阳地球也将不复存在。对于投资来说，我们最喜欢说的就是确定性，但事实是，投资没有确定性，都是随机性。如果一个投资是确定的，那它肯定不值得投资，随机的，才是值得拥有的投资。
随机事件，就是可能发生，可能不发生，最经典的事件，就是抛硬币了，抛一次硬币，可能出现正面，可能出现反面。也正因为这种随机性，诞生了一门学科：概率论。现在我们都知道抛一枚硬币出现正面或反面的概率为0.5，其实在学术上，概率论分为客观概率和主观概率，客观概率又有两个门派：频率派和古典派，比如抛硬币，抛１万次，通过统计得到多少次正面，多少次反面而得到的概率，就是频率派。而正反面随机出现的条件一致，通过计算得到的概率，即1/2，则为古典派。所谓主观概率，就是贝叶斯概率，用公式表示如下：
看着公式就迷糊，举个例子理解的话，就是某人看了茅台股票的历年的营业指标后，觉得茅台未来三年，会有50%的概率涨到3000元(瞎掰的，别当真)，但当此人进一步挖掘茅台的信息，知道了茅台的地域优势、品牌效应、成本优势等等后，他认为未来会有80%的概率可涨到3000元了。因此，所谓的贝叶斯概率，就是一个事件的概率在加入新信息后，会矫正原有事件的概率。对于投资来说，基本就是贝叶斯概率了，也可说贝叶斯思维。
正因为这种主观贝叶斯思维，使得不同人对同一只股票，对未来会产生不同的概率估计，从而也就产生了不同的报价和交易行为。但最终的投资结果，还得看谁的主观贝叶斯思维更能接近客观事实。
3. 数学期望
数学期望的学术定义为：试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。数学期望根据随机变量的不同，可分为连续型和离散型，其计算公式分别如下：
连续型：
离散型：
如果真要拿上面两个公式来计算投资，真是没必要，主要是建立一种期望思维。
对于投资来说，其数学期望是属于连续型的，但我们可以将其离散化进行思考。举个简单的例子，假如您有100万，用于投资一只股票，通过你自己的认知，也就是主观贝叶斯思维认为这只股票翻倍的概率为80%，亏损20%的概率为20%，那么这只股票的数学期望就为：100*0.8 – 20*0.2 = 60万，那么是可以投资的。又假如认为这只股票翻倍的概率为20%，腰斩的概率为80%，那么现在这只股票的数学期望就变为了：100*20% – 50*80% = -20万，就不值得投资了。
但是，在股市，好像挺多人，并不这么考虑，只是单一思维，要么看涨，要么看跌。股市，是二元的，阴阳结合在一起，才不会有漏洞。
４. 相关性
相关性一般有正相关、不相关、负相关三种。拿股票来说，正相关就是你涨，我也涨；负相关是你涨，我跌；不相关是你涨你的，我涨我的，谁也不妨碍谁。这里提相关性主要是在投资中，经常会存在一个争论不休的话题，就是集中持股还是分散持股的问题。
集中还是分散，不是以股票个数来区分的，比如一个人持有20只股票，看似很分散，但全部是同一行业，这不叫分散，因为这20只股票太正相关了。负相关或不相关的持有，才叫分散持有。
到底集中好，还是分散好，没有对错，因为这个跟前面提到的主观贝叶斯思维有很强的关联性，如果你对一只股票有很深入的分析，集中也没错，如果你分析不是那么的透彻，分散持有负相关或不相关的股票，也没什么问题。
这是个见仁见智的事，就不多提了，对于自己来说，自己是偏向于集中持有的，最好这一生就持有三只股票，陪着公司慢慢变老。
５. 均值、方差、中位数
这几个统计概念在股市挺常见的，特别是中位数，用于统计过去的PE、PB等。
均值简单说就是平均数，公式如下，在股市，很少用，主要用中位数代替了，因为更合理。
中位数，顾名思义就是中间那个数，如果是偶数个数，就是中间两个数除以2，公式如下(别看，学术上，用来吓唬人的)。
为什么股市中，多用中位数，而不用均值进行数据统计呢？主要是有失真数据。举个例子，一只股票过去11年(为了简化问题，简单列的几个数)的PE为：
10，9，80，10，10，8，10，9，10，8，10。
其均值为：15.8，中位数为10，显然用PE为10，衡量该股票的估值更合理，产生此问题的原因，就是该数据中有一个80的异常值。对于股市牛短熊长的特性，在牛市或极端熊市就会出现一些非常态的异常值，所以用中位数更合理。
再列一个有点烧脑的公式，方差，意思是相对均值的波动程度。简单理解就是一个系统的稳定性，值越大，越不稳定。可以简单的举个例子，沪深300，PE的方差就比较小，因为它包含了不同类别的行业，内部的一些波动变量可以相互抵消。而对于一些初创型公司，其波动就特别大，比如特斯拉，蔚来。
基于这种方差思维，我很确信的说，在沪深300PE较低的时候买入，长期持有，基本稳赚不赔。而要让我去买特斯拉，鬼知道PE波动成什么样，看不懂，不买。
６. 正态分布
何为正态分布？如下图，一般也叫钟型曲线。
这种分布相当常见，比如将一个班级的学生身高进行统计，其结果就会为正态分布，如下图所示。
对于股票来说，将某一只股票过去的PE或PB进行统计，同样可以呈现一定的正态分布，但是由于股市牛短熊长的特性，股票过去的PE或PB分布不会是严格的正态分布，一般会呈现如下图左侧的负偏分布，即在很短的时间内PE、PB会相当高，也就是短暂牛市造成的。虽然股票的PE/PB等不是严格的正态分布，但同样可用正态分布的一些特性进行思考。
正态分布，有一个非常著名的理论，就是六西格玛。所谓西格玛，就是前面提到的方差，也就是相对于均值的偏离程度，事件落在六西格玛以内的概率可高达99.73%。用茅台PE(数据为假设的)举个简单的例子，假设茅台PE均值为30倍，方差为8，那么PE在[6 54]区间的概率为99.73%，也可理解为99.73%的时间，茅台PE都在这个范围。
基于这种高概率六西格玛思维，很多人会正面思考，冒险干一些蠢事。比如大家可以看看巴老在1998年佛罗里达大学演讲中谈到的长期资本管理公司。这里摘录一小段：
我真理解不了，怎么有人会像这16个人一样，智商很高、人品也好，却做这样的事，一定是疯了。他们吃到了苦果，因为他们太依赖外物了。
我临时掌管所罗门的时候，他们和我说，六西格玛的事件、七西格玛的事件伤不着他们，他们错了。只看过去的情况，无法确定未来金融事件发生的概率。
他们太依赖数学了，以为知道了一只股票的贝塔系数，就知道了这只股票的风险。要我说，贝塔系数和股票的风险根本是八竿子打不着。
会计算西格玛，不代表你就知道破产的风险。我是这么想的，不知道现在他们是不是也这么想了。说真的，我都不愿意以长期资本为例。我们都有一定的概率会摊上类似的事，我们都有盲点，或许是因为我们了解了太多的细枝末节，把最关键的地方忽略了。
亨利·考夫曼说过一句话：“破产的有两种人，一种是什么都不知道的，一种是什么都知道的。”说起来，真是令人扼腕叹息。
所以这里谈论正态分布，不是要从这个数学知识里获得什么提高收益的方法，而是得到规避风险的启示，我想主要有两点：
a.六西格玛概率虽然高达99.73%，但仍有0.27%的不可控因素，也就是常说的黑天鹅，这是无可避免的，所以承认自己的无知，不上杠杆，是在股市生存的重要法则。
b.六西格玛也意味着事件大多数时间都在均值附近，偏离均值越远的事件，往往不持久，都会面临均值回归。所以，不高PE买入一只股票，是安全边际的重要保证。当然前提是公司本身经营没有问题。同理，能极低PE买入一只经营没有问题的股票，那就是天赐良机。自己觉得对于茅台这种简单，稳定，变量少的公司，用这种正态分布思维是特别适用的，比如年初PE突破高位的茅台，无论如何是不能买的，因为很快就会跌到六西格玛以内。
7. 时间序列模型
这里所说的时间序列模型，是有别于量化投资中的时间预测模型，不是拿模型来预测股价的，自己觉得那不太靠谱，至少自己没那能力。这里所说的时间序列模型，是一种思维，是用来理解格老说的一句股市名言的：股票短期是投票器，长期是称重器。
列一简单公式：
y表示股价，x1表示净利润，x2….xn表示国债利率，行业政策，宏观经济，参与者情绪等等很多不可知变量，t表示时间。
列这个公式的意思是想说明，在时间t很小的时候，比如100天，200天，300天，股价y是由x1….xn无穷多的变量共同导致的，而一个人要抓住这些变量去预测股价，几乎是不可能的事。但是随着时间t的延长，x2….xn对股价y的影响会逐渐减小，最后基本主要由一个变量主导，那就是x1净利润。
所以，自己的投资观念就是从不理会短期的任何消息，拉长看，这些全都是杂音，对投资没任何帮助，只关注企业本身。当然关注企业本身是一件比数学知识更难的事，需要靠一辈子不断学习充实。
以上列的数学知识，仅仅是自己用来对投资的一些思考，不见得对投资有什么帮助，最多可以规避一些问题，自己觉得投资真正的落脚点还是要放在企业的理解上，了解企业的商业模式，企业文化，看清企业未来五年十年的发展状况，才是投资长赢的根本。