基于几何画板的2016全国中学生物理竞赛预赛第4题研究

目前，高中物理教材中删除了“稳定平衡、不稳平衡和随遇平衡”这一部分内容，因此高中生对平衡问题的分析只能从受力平衡角度进行，而仅从受力平衡的角度分析，是无法区分平衡种类的。

对2016全国中学生物理竞赛预赛第4题，就出现了类似的争议。

近日，在与北京和平街一中梅晓璇、河南偃师一高曹彩虹、河南平顶山教育学院姚东永、南京航空航天大学郭荣辉等老师、博士和教授们的交流中，逐渐形成了较为有效的解决方案。经过归纳总结，现分享如下：

一、试题回顾与参考答案

参考答案：AC

二、基于几何画板的物体平衡条件分析研究

从平衡条件出发，只要满足库仑力与弹力等值反相即可。

在实际求解中，由于胡克定律为一次函数，而库伦定律为平方反比函数，因此平衡方程只能转化为三次方程，常规方法很难定量求解困难。

作为分析判断型问题，可以分别绘制弹力和库仑力的函数曲线，观察交点的个数即可。

在几何画板中依据题意建立模型，固定正电荷q1到挡板的距离为10m，弹簧的原长为5m，q1=1C，静电力衡量和弹簧劲度系数作为常量，为了便于分析，均视为1。

图中绿色实线为库仑力曲线，紫色实线为弹力曲线。两条曲线有几个交点，就有几个平衡位置。

1.如下图，当q2>0时，库仑力曲线与弹力曲线有且只有一个交点。

在此条件下，电荷q2存在一个平衡位置。

2.如下图，当q2为负电荷且电量较小时，库仑力曲线与弹力曲线有两个交点。

在此条件下，电荷q2存在两个平衡位置。

3.如下图，当q2为负电荷且电量适中时，库仑力曲线与弹力曲线相切，只有一个切点。

在此条件下，电荷q2存在一个平衡位置。

4.如下图，当q2为负电荷且电量偏大时，库仑力曲线与弹力曲线相离，没有公交点和切点。

在此条件下，电荷q2不存在平衡位置。

三、基于几何画板的最小势能原理分析研究

在几何画板中依据题意建立模型，固定正电荷q1到挡板的距离为10m，弹簧的原长为5m，q1=1C，静电力衡量和弹簧劲度系数作为常量，为了便于分析，均视为1。

图中绿色实线为势能曲线，紫色虚线为势能函数的导函数曲线。势能曲线有几个极小值，就有几个稳定平衡位置，有几个极大值，就有几个不稳平衡位置。

1.如下图，当q2=0时，系统势能的极小值点在弹簧原长位置。

2.如下图，当q2>0时，系统势能的极小值点向原长位置的右侧移动，此位置为电荷q2稳定平衡位置。

在此条件下，电荷q2存在一个稳定平衡位置。

3.如下图，当q2<0且电荷量较小时，系统势能的极小值点向原长位置的左侧移动，此位置为电荷q2稳定平衡位置；同时，在靠近电荷q1的地方存在一个势能的极大值点，此点是电荷q2的不稳平衡位置。

在此条件下，电荷q2存在一个稳定平衡位置和一个不稳平衡位置。

4.如下图，随着q2负电荷量的逐渐增大，系统势能的极小值点向左移动，势能的极大值点向右侧移动，两者可以重合；此时在重合点处于不稳平衡位置。

在此条件下，电荷q2只存在一个不稳平衡位置。

5.如下图，随着q2负电荷量的继续增大，系统势能的导函数大于零，势能极值点消失，电荷q2失去平衡。

在此条件下，电荷q2没有平衡位置。

四、两种方法的比较

基于受力平衡的思路较为简单，易于考场实施，但是无法区分稳定平衡和不稳平衡；基于势能最低原理的思路较为复杂，实施也考察相对困难，但是可以有效区分稳定平衡和不稳平衡。

五、结论

1.当电荷q2带正电荷时，存在唯一的一个平衡位置（这是一个稳定平衡，真实环境中可以稳定于该位置）；

1.当电荷q2带负电荷时，可能存在两个平衡位置（一个是稳定平衡，一个是不稳平衡，真实环境中只能稳定在一个位置）；可能存在一个平衡位置（不稳平衡，真实环境中不能稳定）；也可能不存在平衡位置。

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