通过拉普拉斯变换和留数定理，展示黎曼素数计数函数的新视角

素数计数函数证明：

简介

黎曼关于素数计数函数的里程碑式的论文是现代素数分析的基础。爱德华兹（Edwards）的书是一个易懂的参考资料，他在书中研究并扩展了黎曼的论文，冯-曼戈尔德也通过切比雪夫函数给出了素数计数函数的替代公式。黎曼在其论文中指出：
因此，已知的近似表达式F(x)=Li(x)对x阶的量来说是有效的，而且给出的数值有点过大；因为F(x)表达式中的非周期项，除了不随x增长的量之外，是无限的。
  • 这就是黎曼论文中关于素数计数函数近似的最后一个方程。
在这篇文章中，我将通过利用海（赫）维塞德函数（Heaviside function）、拉普拉斯变换和留（残）数定理（residue theorem），展示另一种新的素数计数函数的证明。
该证明包括以下主要步骤：
利用海维塞德函数制定素数计数函数π(x)。
  • 将π(x)拉普拉斯变换为s域的素数计数函数Π(s)。
  • 确定ζ(s)和Π(s)之间的关系。
  • 利用留数定理对Π(s)进行拉普拉斯逆变换，得到π(x)。
这种方法在x域和s域都提供了简明而优雅的解，揭示了海维塞德素数计数函数和Zeta函数之间的深刻联系。

函数的定义

小于给定大小x的素数可以直观地显示在图1中，这基本上是一个阶梯式的海维塞德阶梯函数。因此，在x域，我们可以用海维塞德函数H(ln x -ln p)作为定义的基础制定素数计数函数π(x)。
  • 图1：海维赛德素数计数阶梯函数。
因此，我们可以正式定义实数素数计数函数π(x)为：
  • 式(1)
其中，和是在所有质数{2,3,5,...}的集合上。
方程(1)似乎很简单，也很容易理解。然而，在下文中，你会惊奇地发现，这样一个基本方程如何导致了简化推导的根本转变，因为它需要更少的步骤来证明素数计数函数公式。
现在，对方程（1）中的海维塞德函数进行微分；考虑狄拉克delta函数δ（x），见图2，因此我们有：
  • 式(2)
在这里，我们看到了在实现各种数学运算方面（如微分和变换），使用海维塞德函数的好处。
  • 图2：素数狄拉克 Delta函数δ(ln x -ln p)。

S域

现在，我们可以对方程（1）中的素数计数函数进行拉普拉斯变换，将π（x）变换为Π（s），得到：
  • 式(3)
我们还有：
  • 式(4)
需要注意的是，在s域中新定义的素数计数函数的形式，用符号Π(s)来表示。因此，我们可以在半平面ℜ(s)>1中，通过以下绝对收敛数列的素数之和，正式定义s域素数计数复数函数Π(s)：
  • 式(5)
而在整个复平面内，则通过解析延拓来实现。
这里，符号Π(s)是一个新定义的函数，不应该与文献中用于不同目的的相同符号相混淆。

ζ(s)和Π(s)的关系

现在，我们回顾一下黎曼zeta函数的欧拉积的对数展开，它由以下公式给出：
  • 式(6)
因此，从式（5）和（6）中，我们发现在s域中，素数计数函数Π(s)和Zeta函数ζ(s)之间的关系，简单地给出了：
  • 式(7)
此外，我们观察到采用海维赛德函数和s域分析的好处，它立即证明了ζ(s)和素数计数函数之间的深刻关系，因为方程式(7)揭示了ln ζ(s)是s域素数计数函数Π(s)的所有谐波之和。
现在，式（7）的逆式，由以下公式给出：
  • 式(8)
其中μ(k)是莫比乌斯函数。
式(5)中的s域素数计数函数Π(s)，表现出优雅的简单性。然而，它的复杂性在式（8）中被揭示出来。该函数Π(s)在s=0、s=1和ζ(s)的零点处有极点。图（3）显示了sΠ(s)的实部；沿着临界线s=1/2，我们也观察到了sΠ(s)的极点，它们位于ζ(s)的零点处。
  • 图3：ℜ{sΠ(s)}沿临界线s=1/2+it。

拉普拉斯逆变换

现在，我们可以从Π(s)的拉普拉斯逆变换得到x域素数计数函数π(x)：
  • 式(9)
根据拉普拉斯变换的特性，乘以s的结果是π(x)的微分，乘以-x的结果是sΠ(s)的微分。因此，我们有：
  • 式(10)
即
  • 式(11)
这里，拉普拉斯逆变换可以用残数定理求值，即：
  • 式(12)

残差分析

现在考虑以下表达式
  • 式(13)
在ζ(ks)的零点处有单极点；即：
与m= 1,2,3,....
单极点处的残差可按以下方法得到：
  • 式(14)
类似地，对于s= -2m/k
  • 式(15)
事实上，对于任何具有单零点的函数f(z)，f′(z)∕f(z)在这些零点产生的极点上的所有残差总是1，如上所述。
为了评估极点s=1处的残差，我们注意到：
微分，得到：
重新排列，得到：
  • 式(16)
因此，在单极点上的残差为：
由下面给出：
简化后，得到
因此，式（12）中的残差之和给出了：
  • 式(17)
通过积分，我们可以得到：
  • 式(18)
这里，我们得到与黎曼相同的结果。然而，这种方法以更少的步骤提供了更好的清晰度和连贯性。
优雅的s域形式在ζ(s)函数和素数计数函数Π(s)之间的关系上提出了一个新的视角。Π(s)的行为需要进一步研究，可能会揭示出对素数计算的新见解。
最后，在这个新的视角下，考虑基于 海维赛德函数的自然数计算函数 ϕ(x)，我们可以将其定义为：
  • 式(19)
和
  • 式(20)
对上述方程进行拉普拉斯变换，我们可以得到：
  • 式(21)
和
  • 式(22)
因此，ζ(s)到x域的拉普拉斯逆变换，表现为自然数计数函数ϕ(x)。另外，我们从方程式(22)中观察到ζ(s)的拉普拉斯逆变换在x域的有趣表现，即为递减的狄拉克脉冲函数。
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