工程计算II（35）——低层轻钢骨架住宅设计
第二节箱型过梁设计
计算支撑在下面所描述的7315mm宽二层建筑物的第一层开口位置上的2-203S41-1.09箱型过梁最大允许跨度（图12-4）。按照《冷轧钢材骨架——过梁设计标准》（AISI，2001c）和《规范》（AISI，1999）来设计过梁。除非另有注明，所有的参考公式和截面都符合《规范》（AISI，1999）。
一、设计假定
建筑物宽度：B=7315mm
屋檐悬挑：B’=609.6mm
托梁/桁架/椽子间距：S=610mm
第一层墙高度：H1=3048mm
第二层墙高度：H2=2438.4mm
托梁/桁架/椽子支撑座长度：N=41mm
图12-4
钢材屈服强度：σy=228MPa
地面雪荷载：Sg=2394N/m2
最小屋顶活荷载：Lr=766N/m2
屋顶静荷载：Dr=335N/m2
天花静荷载：Dc=239N/m2
拱腹静荷载：DB’=335N/m2
顶部楼层活荷载：Lf2=1436N/m2
顶部楼层静荷载：Df2=479N/m2
全荷载挠度限制：L/240
活荷载挠度限制：L/360
墙静荷载：Dw=479N/m2
二、设计荷载
静荷载：
天花静荷载=Dc×(B/2)
=239N/m2×(7.315m/2)
=876N/m
屋顶静荷载=Dr×(B/2)
=335N/m2×(7.315m/2)
=1226N/m
墙静荷载=Dw×H2
=479N/m2×2.44m
=1168N/m
顶部楼层静荷载=Df2×(B/2)
=479N/m2×(7.315m/2)
=1751N/m
拱腹静荷载=DB’×S
=335N/m2×0.610m
=204N/m
全部静荷载=天花静荷载+屋顶静荷载
+墙静荷载+顶部楼层静荷载+拱腹静荷载
=876N/m+1226N/m+
1168N/m+1751N/m+204N/m
=5225N/m
活荷载：
屋顶活荷载=Lr×(B+2B’)/2
=766N/m2×(7.315m
+2×0.6096m)/2
=3269N/m
雪荷载=0.7Sg×(B+2B’)/2
=0.7×2394N/m2
×(7.315m+2×0.6096m)/2
=7151N/m
顶部楼层活荷载=Lf2×(B/2)
=1436N/m2×(7.315m/2)
=5254N/m
三、荷载组合
⒈ 1.4D=1.4×(5225N/m)
=7314N/m
⒉ 1.2D+1.6L+0.5(Lr或S)=1.2×(5225N/m)+
1.6×(5254)+0.5×(7151)
=18251N/m
⒊1.2D+0.5L+1.6(Lr或S)
=1.2×(5225)+0.5×
(5254)+1.6×(7150)
=20338N/m控制
四、构件特性
（一）、截面图（见图12-5）
图12-5
（二）、查表获得的截面特性参数
下面为203S41-1.09C型钢的截面特性（来自《低层轻钢骨架住宅设计、制造与装配》一书的截面特性表2.2-4或本书附录A）：
总面积：A=3.46cm2
每米总重量：2.72kg/m
剪力中心到质心的距离：X0=-2.39cm
转动惯量：Ix=192.86cm4
转动惯量：Iy=6.66cm4
截面模数：Sx=18.98cm3
St.Venant扭转常数：J=15.15×10-3cm4
扭曲扭转常数：Cw=552cm6
回转半径：Rx=7.46cm
Ry=1.39cm
回转极半径：R0=7.96cm
扭转弯曲常数：β=0.910
允许弯矩：Ma=2585N-m
允许剪力：V=4485N
（三）、计算参数
腹板尺寸：d=203mm
边缘尺寸：b=41mm
唇缘尺寸：c=12.7mm
设计厚度：t=1.15mm
最小未镀层交付厚度：
t0=t×0.95
=1.15×0.95
=1.09mm
内侧弯曲半径：R=1.808mm
腹板直线宽度：
a0=d-2(R+t)
=203-2×(1.808+1.15)
=197.08mm
边缘直线宽度：
b0=b-2(R+t)
=41-2×(1.808+1.15)
=35.08mm
唇缘直线宽度：
c0=c-(R+t)
=12.7-(1.808+1.15)
=9.742mm
弧长范围：
μ=1.57(R+t/2)
=1.57×(1.808+1.15/2)
=3.74mm
拐角面积：
2tμ=2×1.15×3.74
=8.61mm2
边缘面积：
2tμ+b0t
=2×1.15×3.74+35.09×1.15
=48.95mm2
中性轴半径：
r=(R+t/2)
=1.808+1.15/2
=2.38mm
中性轴距离顶部的距离：
Ycg=d/2=203/2
=101.50mm
α=1
（四）面积
⒈总面积
A=t[a0+2b0+2c0+2π(R+t/2)]
=1.15[197.08+2×35.08+
2×9.742+2π×(1.808+1.15/2)]
=346.97mm2
=3.4697cm2
（五）、每米重量
ρ1=Aρ
=(346.97×10-6)×(7.85×103)
=2.724kg/m
（六）、对X轴的总特性
⒈总转动惯量[美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的附录资料第1.2部分]
Ix=2t{0.0417a03+b0(a0/2+r)2
+μ(a0/2+0.637r)2+0.0149r3
+α[0.0833c03+(c0/4)(a0-c0)2
+μ(a0/2+0.637r)2+0.149r3]}
=2×1.15×{0.0417×197.083
+35.08×[(197.08/2)+2.38]2
+3.74×[(197.08/2)+0.637×2.38]2
+0.0149×2.383+1×[0.0833×9.7423
+(9.742/4)×(197.089.742)2
+3.74×(197.08/2+0.637×2.38)2
+0.149×2.383]}
=1925225.63mm4
=192.523cm4
⒉总截面模数
Sx=Ix/Ycg
=192.523/10.15
=18.968cm3
⒊回转半径
Rx=(Ix/A)1/2
=(18.968/3.4697)1/2
=7.449cm
（七）、对Y轴的总特性
⒈总转动惯量[美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的附录资料第1.2部分]
x’=(2t/A){b0(b0/2+r)+μ(0.363r)
+α[μ(b0+1.637r)+c0(b0+2r)]}
=(2×1.15/346.97)×{35.08×[(35.08/2)
+2.38]+3.74×(0.363×2.38)
+3.74×(35.08+1.637×2.38)
+9.742×(35.08+2×2.38)}
=8.196mm
=0.8196cm
Iy=2t{b0(b0/2+r)2+0.0833b03
+0.356r3+α[c0(b0+2r)2
+μ(b0+1.637r)2+0.0149r3]}-A(x’)2
=2×1.15×{35.08×[(35.08/2)+2.38]2
+0.0833×35.083+0.356×2.383
+9.742×(35.08+2×2.38)2
+3.74×(35.08+1.637×2.38)2
+0.0149×2.383]}-346.97×8.1962
=65675.714mm4
=6.568cm4
⒉总截面模数
xcg=x’+t/2
=8.196mm+1.15mm/2
=8.771mm
=0.8771cm
Sy=Iy/xcg
=65675.714mm4/8.771mm
=7488.075mm3
=7.488cm3
⒊回转半径
Ry=(Iy/A)1/2
=(6.568cm4/3.4697cm2)1/2
=1.376cm
（八）扭转特性
⒈St. Venant扭转常数
J=(t3/3)[a0+2b0+2μ+α(2c0+2μ)]
=(1.153/3)×(197.08+2×35.08
+2×3.74+2×9.742+2×3.74)
=152.95mm4
=15.295×10-3cm4
⒉扭曲扭转常数
扭曲扭转常数是根据美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的附录资料第1.2.2部分公式9来计算，也可以从《低层轻钢骨架住宅设计、制造与装配》一书的截面特性表2.2-4（或本书附录A）中查得CW。
CW=552cm6
⒊回转极半径
从《低层轻钢骨架住宅设计、制造与装配》一书的截面特性表2.2-4（或本书附录A）中查得x0=-2.39cm。针对质心主轴计算截面的回转半径。
R0=(RX2+RY2+X02)1/2
=(7.4492+1.3762+2.392)1/2
=7.943cm
⒋扭转弯曲常数
β=1-(X0/R0)2
=1-(2.39/7.943)2
=0.909
（九）、计算冷作硬化（冷轧加工）后的屈服强度σya：
当
σy=228MPa；
σu=310MPa；
θ=90°；
σyt=228MPa（原始屈服点）
因为
σu/σy=310/228
=1.36≥1.2
R/t=2.38/1.44
=1.65≤7
θ=90°≤120°
为了应用美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的公式A5.2.2-1，S型钢必须有一个压紧边缘，即ρ=1。对该部分，假定换算系数ρ=1。
则
m=0.192(σu/σy)-0.068
=0.192(310/228)-0.068
=0.193
Bc=3.69(σu/σy)-0.819(σu/σy)2-1.79
=3.69×(310/228)-0.819
×(310/228)2-1.79
=1.713
C=(2μ)/(2μ+b0)
=(2×3.74)/(2×3.74+35.08)
=0.176
σyc=Bcσy/(R/t)m
=1.713×228/(1.808/1.15)0.193
=357.910MPa
所以
σya=Cσyc+(1-C)σyf
=0.176×357.910+(1-0.176)×228
=250.836MPa
（十）、计算有效截面特性
⒈计算转动惯量Ix
⑴参考美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的B4.2部分，计算边缘转动惯量Ia：
取
E=203×103MPa
f=250.836MPa（由于冷轧）
b0/t=35.08/1.15=30.508＜60
c0/t=9.742/1.15=8.471＜60
计算
S=1.28(E/f)1/2
=1.28×(203×103/250.836)1/2
=36.414
S/3=36.414/3
=12.138
因为
S＞b0/t＞S/3
按情况II计算
Ia/t4=399[(b0/t)/s-0.330]3
则
Ia=399t4[(b0/t)/s-0.33]3
=399×1.154×{[(35.08/1.15)
/36.414]-0.33}3
=91.387mm4
=91.387×10-4cm4
⑵计算全部边缘（唇缘）加强筋的转动惯量Is：
因为
c0/t=9.742/1.15=8.471＜14（c0/t最大值）
则
Is=tc03/12
=1.15×9.7423/12
=88.606×10-4cm4
Is/Ia=88.606×10-4/91.387×10-4
=0.970
因为
c/b0=12.7/35.08
=0.362
0.8＞c/b0＞0.25
则取
n=0.5
k=(4.82-5c/b0)(Is/Ia)n+0.43
=(4.82-5×0.362)×(0.970)0.5+0.43
=3.394
或
k=5.25-5c/b0
=5.25-5×0.362
=3.44
⑶根据美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的B2.1部分，取最小值（k=3.394）计算受压边缘的苗条（板薄）系数。
λ=(1.052/k1/2)(b0/t)(f/E)1/2
=(1.052/3.3941/2)×(35.08/1.15)
×(250.836/203×103)1/2
=0.608
因为
λ＜0.673
则
ρ=1
be=b0=35.08mm
受压边缘全部有效。
⑷根据美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的B3.2部分，计算受压（唇缘）加强筋有效宽度
取
f=228MPa
k=0.43，[见美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的B3.1部分
E=203×103MPa
则
λ=(1.052/k1/2)(c0/t)(f/E)1/2
=(1.052/0.431/2)×(8.471)×(228/203×103)1/2
=0.455
因为
λ＜0.673
且
Is/Ia=0.970＜1
所以
ce=c0(Is/Ia)
=9.88×0.970
=9.446mm
受压加强筋（唇缘）不是全部有效。
⑸ 计算腹板有效宽度：
因为
D/a0=38/197.08
=0.193＜0.4
所以可以用腹板总截面面积计算带孔腹板的Se。
假定腹板要素全部有效。
① 表中数据为计算出来的上加强筋有效长度；
② 表中数据安上加强筋有效长度计算出来的，即y=c-c0+ce/2。
从顶部边缘到x轴的距离为：
ycg=∑(Ly)/∑(L)
=306.211/30.141
=10.159cm
由于受压边缘到中性轴的距离大于柱子深度的一半，假定为252MPa的压缩应力（也就是说，初始屈服是受压）。
因为
f1= +f(ycg-t-R)/ycg
=250.838×(101.59
-1.15-1.808)/101.8
=243.533MPa（受压力）
f2= -f(d-ycg-t-R)/ycg
= -250.838×(203-101.59
-1.15-1.808)/101.8
= -243.078MPa（受拉力）
按照美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的B2.3(a)部分计算有效宽度。
因为
ψ=f2/f1
= -243.078/243.533
= -0.998≤ -0.236
k=4+2(1-ψ)3+2(1-ψ)
=4+2(1+0.998)3+2(1+0.998)
=23.951
因为
a0/t=197.08/1.15
=171＜200
所以
λ=(1.052/k1/2)(a0/t)(f1/E)1/2
=(1.052/23.91/2)×(171)
×(243/203×103)1/2
=1.276
因为
λ＞0.673
所以
ρ=(1-0.22/λ)/λ
=(1-0.22/1.276)/1.276
=0.649
ae=ρa0
=0.649×197.08
=127.828mm
腹板要素不是全部有效。
a2=ae/2
=127.828/2
=63.914mm
a1=ae/(3-ψ)
=127.828/(3+0.998)
=31.972
a1+a2=31.972+63.914
=95.886mm
根据有效截面计算出来的腹板受压部分长度
ace=ycg-(R+t)
=101.59-(1.808+1.15)
=98.634mm
因为
a1+a2＜ycg-(R+t)
腹板要素不是全部有效，腹板上允许的最大开孔尺寸是：
2(ace-a2)=2×(98.634-63.914)
=69.44mm
根据上表计算出
Ix’=Ly2+Il’-Lycg2
=4144.349+638.084
-30.141×10.1592
=1671.568cm3
则转动慣量
Ix=Ix’t
=1671.568cm3×0.115cm
=192.230cm4（按总截面计算出来的转动慣量是192.523cm4，查表获得的转动慣量是192.86cm4）
⒉计算有效截面模数
Sx=Ix/ycg
=192.230cm4/10.159cm
=18.922cm3（按总截面计算出来的截面模数是18.968cm3，查表获得的截面模数是18.98cm3）
⒊计算名义弯矩
Mn=Sxσy
=18.922cm3×228MPa
=4314.163N-m
⒋计算允许弯矩Ma
Ma=Mn/Ω
=4314.163/1.67
=2583.331N-m（按总截面计算出来的允许弯矩是18.968cm3×228MPa/1.67=2589.608N-m，查表获得的允许弯矩是2585N-m）
五、构件特性比较
根据规范计算或从《低层轻钢骨架住宅设计——工程计算》一书的表6.3-2中查得203S41-1.09的能力
是：
①Φ=0.95，相当于
Ω=∑rL/ΦL=[(1.2×5.225+0.5
×5.254+1.6×7.151)]
/[0.95×(5.225+0.3×5.254+7.151)]
=1.54/0.95=1.62
② Ma=Mn/Ω，Ω=1.67，相当于
Φb=∑rL/ΩL
=[(1.2×5.225+0.5×5.254
+1.6×7.151)]/[1.67×(5.225
+0.3×5.254+7.151)]
=1.54/1.67=0.92
本书是按照AISIWIN程序计算出来的数据进行校核。
六、弯曲能力
Mn=4292.520N-m，无系数名义弯曲能力（见上表）
Φb=0.95 弯曲强度抵抗系数[按照《规范》（AISI，1999）]
2ΦbMn=2×0.95×4292.520N-m
=8156N-m（针对两个截面，冲孔）
L=1.79m
七、挠度限制
Δ=L/240 （全荷载）
均布荷载简支撑跨度挠度公式是：
这儿是双腹板，所以I=2×191.675cm4=3.83349×10-6m4，并且没有考虑屋顶活荷载，所以
w=5225N/m+7151N/m+5254N/m
=17630N/m。
Δ=L/360 （活荷载）
这儿I=2×191.675cm4=3.83349×10-6m4，针对双腹板，并且w=5254N/m。
八、剪切能力
基于《过梁设计》标准（AISI，2001c），剪切不控制过梁的设计。因此，跨度不受剪切能力限制。
九、组合的弯曲和腹板临界能力
计算过梁的腹板临界能力：
Pn=k1t2kC1C2C9Cθ[538
–0.74(h/t)][1+0.007(N/t)](公式C3.4.1-4)
k1=(1/25.4)2×4448.222
=6.895，单位换算系数，单位为N
k=894σy/E
=894×(228/203000)
=1.0(公式C3.4.1-20)
C1=1.22–0.22k
=1.22–0.22×(1.0)
=1.0(公式C3.4.1-10)
C2=1.06–0.06R/t
=1.06–0.06×(1.808/1.15)
=0.966(公式C3.4.1-11)
C9=1.0
Cθ=0.7+0.3(θ/90)2
=0.7+0.3(90/90)2
=1.0(公式C3.4.1-19)
Pn=(6.895)×(1.15)2
×(1.0)×(1.0)×(0.966)×(1.0)×(1.0)
×[538–0.74×(197.08/1.15)]
×[1+0.007×(41/1.15)]
Pn=4538.57N(针对1个腹板)
全部Pn=2×4538.57N=9077.15N(针对2个腹板)
根据《规范》（AISI，1999），应该针对每个C型截面构件上的腹板孔来调整Pn。
校核《规范》（AISI，1999）C3.4-2的适用性：
D/h=38/197.08
=0.19＜0.7
h/t=197.08/1.15
=171.38＜200
孔中心在腹板的中间深度上。
在孔之间的净距离≥457mm
圆孔直径≤152.4mm
非圆孔，孔深度（D）=38mm≤63.5mm，
并且b=102mm≤114mm
D＞14.3mm
Rc=0.90-0.047D/h
+0.053x/h≤1.0(公式C3.4.2-2)
Rc=0.90–0.047×(38)/197.08
+0.053×(254)/197.08=0.96
Pn=2×4538.57×0.96
=8714N (针对2个带孔的腹板)
采用下面的荷载模型校核组合的弯曲和腹板临界公式（图12-6）。集中荷载是位于梁的中间跨度上。每一侧的均布荷载距离集中荷载305mm（假设610mm间距）。
图12-6
代入公式B2.5-2里的所有变量，并求解出L。
这儿
Mnxo=2×4292.52N-m
=8585N-m（无系数弯矩）
Φw=0.75针对箱型梁过梁
Φb=0.95
P=0.610(w)
=0.610×20338
=12397.80N
w=20338N/m
求上式得出L。
对于箱型梁过梁，上式求不出实数。这就暗示对于给定的荷载条件（没有中间加强肋），假设的箱型梁过梁组件（2-203S41-1.09）是不合适的。