续写缠论动力学4-混沌与奇怪吸引子

前面讲的定点和稳定性是研究动力学系统的关键点，这是针对简单的一维动力学系统，二维、三维甚至多维动力学系统则有不一样的特性。

一维动力学系统的定点往往是单调的点，二维动力学系统却体现在振动。环视我们的周围，从我们的呼吸、心跳到新陈代谢，从潮起潮落、日出日落到四季变换，从经济的繁荣萧条到历史的王朝更替，无一不是振动。可以说整个宇宙就是由不同频率的振动合奏的一曲最壮观的交响乐。

为什么振动无处不在？其实依然是因为定点的广泛存在，振动无非是围绕定点的波动。回到动力学系统中，振动在相空间中的表现形式就是一个闭合的轨道，因此，在一个二维的动力学系统中，运动形式只有两种：

1. 平衡态（定点）

2. 周期运动（振动）

其实定点也无非是振动的一种，在相空间上，定点可以看作是闭合轨道趋于无限小。

下图就是一个二维动力学系统在相平面上的运动轨迹，可以看到是围绕某个区域的一个个闭合轨道组成。

于是，对动力学系统的研究就变成了研究系统的拓扑结构，这种把各种不同形式的系统归于空间里的拓扑研究的思想，是一种超越性的思想。它标志了数学在解释世界的能力上的新高度。 从此，我们对世界的认识，取决于我们对几何空间的拓扑性的归类。 那些能够归于同一拓扑结构的系统，即使他们的物质组成有多不同，但具有相同的动力学本质。因此，拓扑的思维具有高屋建瓴，以一敌百的特性。

当系统的维数达到三维时，混沌（Chaos）就成为了主要特征。混沌看似杂乱无章，毫无秩序，但系统依然具有确定性的方程，依然乱中有序。

在一维动力学系统中，稳定状态是一个点，二维动力学系统中，稳定状态变成了一个闭合的轨道，那么顺着推理下去，按照点---线---面的思路，没错！三维动力学系统中，稳定状态就成为了一个复杂的曲面，这个曲面被称作“吸引子”。

那么为什么三维非线性动力系统可以产生混沌？就是因为物体的运动轨迹被曲面所吸引，即使最终落入该曲面上，它也可以具备无数条轨道（曲面上的线是无数条），轨道变得复杂不可预测，所以混沌。

美国的气象学家洛伦兹用他优美绝伦的洛伦兹方程搞出了我们常说的蝴蝶效应，就是用来描述混沌的，原话是指南美洲一只蝴蝶扇动一下翅膀，就可能引起北美洲的飓风。然而这并非是洛伦兹的本意，因为蝴蝶效应指的其实是动力学流形在相空间中的形态非常像一只翩翩起舞的蝴蝶。

从上图可以看出，这个三维系统有两个吸引中心，系统围绕这两个吸引中心旋转，轨道变得复杂不可琢磨，而这些轨道的集合看起来就像一只美丽的蝴蝶。

在三维系统中，这个吸引子曲面是由两个定点构成的，系统时而围绕其中一个定点旋转，时而围绕另外一个旋转，但它何时从围绕一个定点到围绕另一个定点却是不可预测的。

这只美丽的蝴蝶是两个定点构成的吸引子，在一些复杂的系统中，还会出现“奇怪吸引子”。什么是“奇怪吸引子”，以下是百度百科的内容：

看到了吗？这奇怪吸引子还能有自相似结构，咦！？我知道你在想什么，是不是类似股票走势中的中枢和级别，别急，等下章把分形和分维介绍之后，解决缠论动力学的知识点基本就齐全了。