【暑假特辑】学会动定转换，巧解将军饮马

从初二开始，我们会遇到几何最值问题，最常见的是将军饮马型的线段和最小值问题．

通常，我们会遇到以下两种情况：

(1)如图1，在定直线l外有两定点A、B，请在l上找一动点P，使得AP＋BP最短．

(2)如图2，在定直线l外有两定点A、B，请在l上找两动点M、N，且MN定长，使得AM＋BN最短．

解决这两类问题，通常是作对称，或先作平移，再作对称．

(1)如图3，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为点P．

(2)如图4，作点A关于直线l的对称点A'，将点B向左平移MN的长度到点B'，连接A'B'，与直线l的交点即为点M，点M向右平移MN的长度到点N，点M、N即为所求．

但是，有些题目属于一定两动问题，能否将其转化为我们熟悉的两定一动将军饮马问题呢？来看下面几个例子．

例1： 分析： 本题看似将军饮马问题，但却又有区别，一般的将军饮马问题中，是两个定点一个动点，而本题却是一定两动，但最终肯定要转化为“两点之间，线段最短”的模型，因此，先考虑将AF转化，考虑到正方形对角线可以作为对称轴，则连接CF，AF＝CF，问题转化为求AE＋FC的最小值． 解答：

反思

本题能否通过“动定转换”的策略去解读？

何为动定转换？简单的理解就是：把动点看作不动的定点，让定点动起来，作相对运动．

来看本题，这里E、F是动点，点A是定点，那么我们就可以把E、F看作定点，则点A是动点，而点A的“相对运动”路线应该是平行于EF运动路线，即BD的平行线，由于E、F是BD上的任意两点，我们在把它们看作定点时，不妨定在特殊位置，如点E和点B重合时，就有下图．

变式： 分析： 本题几乎和例1如出一辙，B为定点，E、D为动点，且DE＝2，我们要把两动一定问题，转化为两定一动问题，要采用“动定转换”的方法，将E、D看作定点，确定动点B的相对运动轨迹，即平行CF的直线PQ．然后问题转化为熟悉的将军饮马模型． 解答：

小结

其实以上两题还有隐含的共性结论，比如，

例1中的△A′EF有定边EF，动点A′到线段EF的距离是平行线AG和BD间的距离，是定值．

变式中的△B′DE有定边DE，动点B′到线段DE的距离是平行线CF和PQ间的距离，是定值．

如果把EF、DE分别看作底，则AG和BD间的距离、CF和PQ间的距离看作高，这两个三角形可称为“定底定高”，

而要使其另外两边之和的长度最小，也就是求其周长最小，显然，这两条边要相等，

即所谓网上有口诀：“定底定高，等腰周长最小”．

理由也很简单，以例1为例，

A′E＝A′E′，可证∠A′E′E＝∠A′EE′，

∠A′E′E＋∠A′FE＝90°，

∴∠A′EE′＋∠A′EF＝90°，

∴∠A′FE＝∠A′EF，

即A′E＝A′F，可见口诀的确总结的不错．

例2： 分析： 显然，A′、B′为动点，C为定点，又是两动一定，如何“动定转换”？使之变成两定一动？ 我们只需换一条边，易证四边形A′B′CD为平行四边形，则B'C＝A'D，要使A′C＋B′C最小，只需使A'C＋A'D最小，问题迎刃而解． 解答：

例3： 分析： 显然，A、B为动点，O为定点，又是两动一定，如何“动定转换”？使之变成两定一动？ 将A、B看作定点，确定动点O的相对运动轨迹，即平行CA的直线PQ．然后问题转化为熟悉的将军饮马模型． 解答：