中考数学压轴题分析：旋转破解几何最值

本文内容选自2021年遵义中考数学压轴题，题目中介绍了如何用几何变换中的旋转来解决几何最值问题，非常值得学习。

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【中考真题】

（2021·遵义）点是半径为的上一动点，点是外一定点，．连接，．

（1）【阅读感知】如图①，当是等边三角形时，连接，求的最大值；
将下列解答过程补充完整．
解：将线段绕点顺时针旋转到，连接，．
由旋转的性质知：，，即是等边三角形．

又是等边三角形
，

在和△中，

　△　

在△中，
当，，三点共线，且点在的延长线上时，

即
当，，三点共线，且点在的延长线上时，取最大值，最大值是 　　          
（2）【类比探究】如图②，当四边形是正方形时，连接，求的最小值；
（3）【理解运用】如图③，当是以为腰，顶角为的等腰三角形时，连接，求的最小值，并直接写出此时的周长．

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【答案】解：（1）将线段绕点顺时针旋转到，连接，．
由旋转的性质知：，，即是等边三角形，
，
又是等边三角形，
，，
，
，
在和△中，
，
△，

，
在△中，，
当，，三点共线，且点在的延长线上时，，
即，
当，，三点共线，且点在的延长线上时，取最大值，的最大值为． 故答案为：△，．

中，作以为边的正方形，连接，，

四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和△中，
，
△，
，
在中，根据“三角形两边之差小于第三边”， 得，
当，，三点共线，且点在的延长线上时，，
即，
当，，三点共线，且点在的延长线上时，取最小值，最小值是．
取最小值的图像如下所示：

为腰，顶点为点，顶角为的等腰，连接，，过点作于点，

，，
，
，
，，
在△中，，
，
，
，
在和△中，
，
△，
，
在中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得，即，
当，，三点共线，且点在的延长线上时，即，
当，，三点共线，且点在的延长线上时，取最小值，最小值是，
当取最小值时的图象如如图③中，此时过点作于点，且延长于点，使得，

，
又△，
，
在中，，，
，，
，
，
在中，，
，，
，
，
以及，
在中，，
，
的周长为．