中考数学压轴题分析：中点辅助线2

本文内容选自2021年重庆市中考数学压轴题（A卷），仍然以中点为关键条件，构造辅助线进行求值与证明．

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【中考真题】

（2021·重庆）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．
（1）如图1，当时，连接，交于点．若平分，，求的长；

（2）如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值．

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【分析】

（1）见角平分线，则往两边作垂直，连接CE，易得△CEF为等腰三角形，进而得到BD=CE=CF=√2FG=√2AF．

（2）先猜测CD=2AG，再证明．

遇中点，则倍长，可以考虑用倍长中线，或者构造中位线进行证明结论．

如下图，可以倍长AG，然后得到全等，进而得到AB=EH，∠BAE+∠AEH=180°．

然后考虑证明一对三角形全等即可，即△ACD≌△EHA（SAS）．

当然，这样连接也是可以的，方法类似．

当然，中点还可以考虑构造中位线，如下图，延长BA至H，使得AH=AB即可．

如果反过来延长构造中位线，也是可以的．

如果取CD的中点M，再倍长也是可以的．

（3）当∠BAC与∠AEC已知时，图形形状确定，易得∠AEC+∠ABC=180°，则四边形ABCE的对角互补，也就是说四点共圆，那么就可以得到∠AEB=∠ACB=30°，在等边△ADE内根据三线合一，可以得到边角关系，进而又得到△CDE为等腰直角三角形，设未知数即可得到所有的边角关系，结论易得．

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【答案】

解：（1）连接，过点作于，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转知，，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

（2），
理由：延长至点，使，连接，
是的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；

（3）如图3，连接，与的交点记作点，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
点，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由（2）知，，
，
，
，
，
过点作于，
在中，，，
，
根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
．