【模型导学】“飞鱼模型” ——相似三角形的一个常见二级模型 / 四六文摘

一题多解是巩固复习所学知识方法，增强和锻炼发散思维，形成综合能力的最重要方法。其实，相信看到文章最后的读者都应该看得出来，老王并不是想讲“一题多解”的。文章推出后，马上有安徽的网友交流自己的看法：多解归一好！

其实，“多解归一”就是“通法”！“多题归一”就是“建模”！某种程度上，“建模”就是“通法”！

那么，咱们今天讲什么呢？咱们今天还讲“建模”！前几天老王首次公布了一个不太常用的数学模型——“电线杆模型”，今天老王首次再公布一个比较常用的数学模型——“飞鱼模型！”

咱先卖个关子，先来个智力小游戏热热身！

如图1，是由8根火柴棒拼成的一条正在向右自由遨游的“小鱼”，请你只移动其中的两根火柴棒，使得图中的“小鱼”改变了游动的方向。

你想到了吗？

公布答案了.......

其实，还可以这样：

你看出来是怎么移动的吗？

原来是这样的.....

如果让你只移动其中的三根火柴棒，使小鱼改变游泳方向呢？

这次直接上答案！

下面咱们言归正传，今天咱们说说“飞鱼模型”。请看图7，您是不是也看到了一条向右游泳的“飞鱼”呢？

相信您已经看到了！其实，咱数学上就有这样一条“飞鱼”，经常游走在各地的中考题目中。

如图8，若有①AB：BC=1：m；②ED：CD=1：n；③AO：OD=1：h；④OE：OB=1：k；其中，上述4个关系式中，任意两个作为已知条件，即可求出另外两个的值。这个模型，老王称之为“飞鱼模型”！

解决“飞鱼模型”的方法比较多，这类题目最常见的出题形式是：

1、已知①②求③；

2、已知①②求④；

3、已知①③求②；

4、已知①④求②；

5、已知②③求①；

6、已知②④求①.

7、已知①③求④；

8、已知①④求③；

9、已知②③求④；

10、已知②④求③；

11、已知③④求①；

12、已知③④求②.

大家不妨再看看这两道题目：

例1、（2019四川凉山）如图9，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（　　）

A．1：2 B．1：3

C．1：4 D．2：3

方法1：如图10，作DM∥AE交BC于M，则△CDM∽△CAE，△BOE∽△BDM。∵AD：DC＝1：2，∴EM：MC=1：2。∵OB=OD，∴BE：EM=1：1，∴BE：EC＝1:3，选B；

方法2：如图11，作DM∥BC交AE于M，则△ADM∽△ACE，△BOE∽≌△DOM。∵AD：DC＝1：2，∴AD：AC=DM：CE=1：3。∵OB=OD，∴BE=DM，∴BE：EC＝1:3，选B；

其实，我们还可以用下面的辅助线进行证明——具体证明过程略，请大家自行根据图中示提示体会相关证法。

例2、如图20，已知在△ACD中，B在AC边上，O在AD上，BO交CD延长线于点E，AB：BC＝1：2，O是AD的中点，则BO：BE＝；

同样，我们也可以找到类似的证明方法，求得BO：BE＝1：4.

突然突然想到了洛阳二外王宏伟老师的一句非常任性的话：“遇到45°角，胡乱作平行！！！”

这里不妨也借用一下：遇到“飞鱼模型”，胡乱做平行！！！

说是“胡乱做平行”，其实也是有目的的。细心的您也许会发现？例1和例2中过点E作平行线，似乎都不顺利。为什么呢？留待大家下去去探讨。

其实，最重要的一点，老王还想告诉大家：既然本文以“又一道不可多得的压轴小题（2）——从2020年山西压轴小题的多中解法说起”为题，是想说明两点：

1、上篇“又一道不可多得的压轴小题（1）”之解法9，不小心给漏了，向大家致歉，这里补录于后：

【原题】（2020山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4， CD⊥AB，垂足为D， E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．

2、在这道题目里，不是也有个“飞鱼模型”存在吗？

其实，我们上一篇的许多解法，就是“飞鱼模型”的“胡乱做平行”策略！鉴于此，我们甚至还可以借助于下列辅助线解决这道题目，具体证明方法大家下去完善：

胸中有模型，胜过百万兵！！！

模型不是让学生死记硬背一些固定的套路、公式、甚至结果，而是让同学们逐渐树立“建模意识”，培养“建模思想”，把一个新问题“转化”为已经学习过或解决过的老问题。

下面这些题目，欢迎大家运用“飞鱼模型”的相关策略来解决！

1、如图，在△ABC中，AF:FB=2:3，延长BC至点D，使得BC=2CD，求AE:EC的值．

2、如图3，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE=1/4AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则BC:CD_______.

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