南宁二中初中部大学区2020-2021学年秋季学期期中考试T25
原题：
如图，以矩形ABCD的边CD为直径作圆O，点E是AB的中点，连接CE交圆O于点F，连AF并延长交BC于点H。
（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由。
（2）求证：AH是圆O的切线。
（3）若AB=6，CH=2，求AH的长。
(1)四边形AECO为平行四边形。证法1：E为AB中点，AE=AB，CO=CD 又AB∥CD，AB=CD ∴ AE=CO，AE∥CO ∴四边形AECO为平行四边形。
证法2：连EO，AC交于点P，∵ E、O为AB、CD中点， ∴AP=PC，OP=EP ∴四边形AECO为平行四边形。
(2)证法1：连OF， ∵AO∥EC ∴ ∠AOF=∠OFC， ∠AOD=∠FCD 又∵∠FOD=2∠FCD ∴∠FOA=∠DOA 又∵DO=FO，AO=AO ∴△ADO≌△AFO（SAS） ∴∠ADO=∠AFO=90° 即OF⊥AF 即AH为圆O的切线。
证法2：连OF、DF，DF与AO交点为Q，∵CD为直径，∴∠CFD=90°，∴CD⊥CE 又AO∥CE ∴AO⊥DF 又OD=OF ∴∠DOA=∠FOA （三线合一） 又∵DO=FO，AO=AO ∴△ADO≌△AFO（SAS） ∴∠ADO=∠AFO=90° 即OF⊥AF 即AH为圆O的切线。
(1)解法1：CH=2，则FH=2，设BH=x，则AD=x+2，AH=x+4, 在Rt△ABH中用勾股定理得AH2=AB2+BH2
解得x= ∴AH=x+4= 13/2
解法2：（射影定理）连OH，∵AD、AF、HC、HF均为切线，∴∠AOH=90° 设AH=x，则AF=x-2，在Rt△AOH中，用射影定理得OF2=AF·FH 得x= 13/2
解法3：连接OH，∵ CO=3，CH=2 ∴OH= ∵∠COH=∠CDF=∠OAH ∴Rt△OAH∽Rt△COH ∴AH= 13/2（相似的解法还有许多中，此题第三问偏向于简单，都不需要用到相似）