第16讲 三角形和多边形的内角和-答案精讲

初中奥数精讲——第16讲 三角形和多边形的内角和

本讲适用于初一、初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。

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一、知识点解析

1. 三角形内角和定理：三角形的三内角之和等于180°。

2. 多边形的内角和定理：边数是n的多边形的内角之和等于(n-2)*180°（n≥3，且n是整数）。

3. 多边形的外角和定理：边数是n的多边形的外角和总是360°（n≥3，且n是整数）。

4. 由三角形内角和定理，可以得到三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，这个性质可以把一些分散的角集中到一个三角形中来。

5. 在计算一些角的内角和时，我们常用的方法是把这些角集中到一个三角形和多边形中去，从而利用三角形内角和或多边形的内角和来求解。

这部分主要考察学生的对一些三角形、多边形的内角和、外角和的了解及掌握，这部分属于几何部分的基础知识，这部分需要一些空间想象能力，题型变化多，要夯实基础，才能保证在几何的学习上赶超别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

证明：n边形的内角和等于(n-2)*180°。

先退到最简单的情形中取考察。对于一个四边形，要求出其内角和，可连接AC，把四边形分成了两个三角形，内角和为180°×2=360°，这种分割方法可以推广即可求出n边形的内角和。

解答：

例2

求证：三角形的外角和等于360°，一般地，n边形的外角和也等于360°。

找到外角和与内角和的关系，把外角和问题转化为内角和问题。

解答：

例3 （“希望杯”试题）

如图，已知DF⊥AC，DB⊥GC，∠AEB=120°，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D的度数。

以∠AEB为桥梁把∠A，∠B，∠C，∠D联系起来。

解答：

例4 （“祖冲之”杯数学邀请赛初二试题）

在图中，∠A + ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F+ ∠G =________度。

把分散的角集中到三角形或多边形中求解。

解答：

例5 （山东省初中数学竞赛试题）

BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=α，∠BDC=β，则∠BEC=______。（用α，β表示）。

（1）∠BEC要合α、β联系起来，可通过△ABC、△EBC，△DBC的内角和列方程解决。

（2）方程组求解。

解答：

例6  （广州、武汉、福州、重庆、 初中数学联赛试题）

如图，图中是一个4×4的正方形，求图中∠1 - ∠2 + ∠3 - ∠4+…+∠15 - ∠16的度数。

采用适当配对的方法，利用∠1与∠7，∠2与∠6。。。互为余角，注意到∠4，∠10，∠14，∠16均为45°，就可以顺利解决这个问题。

解答：

例7

已知锐角 （即每个内角都是锐角的三角形）的所有内角的度数都是正整数，且其中最小的内角的度数是最大的内角的度数的1/4，求满足此条件的所有锐角三角形的内角度数。

根据所给条件列不定方程，再利用角的限制条件求解。

解答：

例8

以三角形三顶点和内部7个点共10个点为三角形的顶点，最多能将原三角形分割成多少个小三角形？

初看此题，觉得很复杂，无从下手，这也是很多几何题的特点。若能抓住每个三角形内角和为180°这一关键列出方程，则可以解决问题。

解答：

设所分割成小三角形的个数是n个，则它们的内角和为180°n，又因为原三角形内每一个点为小三角形的顶点时，能为小三角形提供360°的内角，7个点共提供7×360°。

所以 180°n = 7×360°+180°.

解得n = 15，故这10个点将原三角形分割成15个小三角形。

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