2020哈维穆德学院数学竞赛 证明赛 -中文翻译

分设为正整数, 集合,映射满足,当且仅当时, (即为上的双射).证明: 存在正整数,使得对任意, 均有

分对正整数,设 为次实系数多项式.
(1) 分证明存在整数 , 以及非常数实系数多项式列 ,使得

(2) 分若为奇数, 证明必有一个实根.
(3) 分已知 ,为实数, 为正整数. 若 不为实数,且为的重根, 证明  也为的重根.
注: 本题目可以直接使用代数基本定理,无需证明.

3.(6分)求所有正整数 ,使得存在数组,的排列,满足可以被按某种顺序排列为等差数列.

4.(7分)给定正整数,在圆上取个点, 将他们交替染成蓝色和红色.用条蓝色的弦连接这个蓝点,用条红色的弦连接这个红点,使得每个点都通过一条弦与某个同色点相连. 若某条蓝色的弦与某条红色的弦相交, 就称这两条弦是一对好弦.
(1)(1分)已知,证明:至少有3种方法连接这个蓝点和个红点,使得图中一共有3对好弦.(一种方法可以旋转变成的方法视为同一种)
(2)(6分)对任意,求好弦对的个数的最小值, 并证明.

5.(8分) 设 为正整数,  为实数.
(1)(2分)已知对任意实数 均有, 求 的最大值.
(2)(6分) 设 为次实系数多项式. 已知对任意单位复数 , 均有 , 求 的最大值.

6.(9分)如图, 内接于圆, 平分线与交于点.圆与,圆均相切,\其中与圆切于点.点分别为所对旁切圆在上的切点,且交点满足共圆.
(1)(7分)证明共圆.
(2)(2分)已知. 求的值.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。