第11招：借点搭桥-公切线问题
第11招：借点搭桥 - 公切线问题
某点处切线的几何意义是该点处切线的斜率,一般情况下我们经常研究一条曲线和一条(或多条)切线。现在我们提出问题:多条曲线能否共一条切线?
定义:同时和曲线
、
都相切的直线称为两曲线的公共切线.
公切线通过切点搭桥过渡,建立方程(组),解方程(组),问题转化得解。
1.基础切线问题a,在点
处的切线方程为
.
2.基础切线问题b,求过点
的曲线的切线方程的步骤为:
第一步:设出切点坐标
;
第二步:写出过
的切线方程为
;
第三步:将点
的坐标
代入切线方程,求出
;
第四步:将
的值代入方程
可得过点
的切线方程.
说明:
可能是切点,也可能不是切点,这种做法不需要讨论
是否为切点.为什么不需要讨论?原因是没有出现分母为
的可能。
3.切点相同(公共点处)的公切线
设直线与曲线
和与曲线
均切于同一点。记为
和
,于是
,且
.解出
及相关的参数,从而可得切线方程.
4.切点不同(公共点处)的公切线
设直线与曲线
切于
与曲线
切于
,
则切线方程为
,即
,
同理
.
因为两条切线重合,所以
,且
.
解出
,
,从而可得切线方程.由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数.
5.特殊曲线的切线的处理方法:与圆、椭圆、双曲线、抛物线相切可用代数法
.与圆相切优先用圆心到直线的距离
。与抛物线相切优先用导数法,即通过求导数得到斜率。事实上只要能转化为函数的,都可以通过求导数得到切线斜率。
(2019·高考II卷·20)已知函数
.
(1)讨论
的单调性,并证明
有且仅有两个零点;
(2)设
是
的一个零点,证明曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】(1)函数
的定义域为
,
,因为函数
的定义域为
,
所以
,因此函数
在
和
上是单调增函数(注意不能取并集);
当
时,
,
,
因为
,所以函数
在
必有一零点,记为
,
而函数
在
上是单调递增,故当
时,函数
有唯一的零点.
于是
,
,故
在
有唯一零点
.
另法:当
时,
,
,而
.
函数
在
上单调递增,故当
时,函数
有唯一的零点.
综上所述,函数
的定义域
内有
个零点;
(2)证明:因为
是
的一个零点,
所以
,
,
所以曲线
在
处的切线
的斜率为
.
因为
,所以点
在曲线
上.
故直线
的斜率
.
又曲线
在点
处切线的斜率是
,曲线
在点
处切线的斜率也是
,所以曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线.
1.(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知函数
,
.
(1)讨论函数
的单调性;
(2)当
时,若曲线
:
与曲线
:
存在唯一的公切线,求实数
的值.
2.已知函数
,曲线
在点
处的切线平行于直线
.
(i)求函数
的单调区间;
(ii)设直线
为函数
图象上任意一点
处的切线,问:在区间
上是否存在
,使得直线
与曲线
也相切?若存在,满足条件的
有几个?