精度与测度

西方数学之发展主要以人为抽象为主，其往往脱离或忽视了“数”相应物之存在与演化，因此会遭遇所谓的三次数学危机。中国古人之数学抽象，更接近意象思维。这就使得东西方之数学重点迥异。为说明此点，在此以西方数学之三大危机为例。

西方数学之第一次危机发生在公元前5世纪，主要是发现了无理数却因无法理解而拒绝之。古希腊时代，以毕达哥拉斯（Pythagoras，约前580-前500年）为首之毕达哥拉斯学派认为：任何两条线段之长度比，都可以用两个整数之比来表示，并称之为可公度。两个整数相比实际上包括了整数与分数（统称为有理数），故该学派认为世界上只存在着整数与分数，除此以外，别无他数。可是不久就出现一个问题。毕达哥拉斯有一个叫希帕斯（Hippias）的学生发现，若正方形之边长为1，则其对角线之长为

。然则

到底是整数还是分数呢？因为

一定比1大、比2小，因此其不是整数。由于毕达哥拉斯学派规定该学派成员之任何成果都要上归于毕达哥拉斯本人，因此希帕斯不敢隐瞒。

到底是什么数引起了毕达哥拉斯学派极大之苦恼与恐慌，因为整个毕达哥拉斯学派都找不出与其对应之分数。希帕斯之发现动摇了毕达哥拉斯学派之核心基础，希帕斯因害怕被迫害而秘密潜逃，但不久后仍被其同门抓获，并以泄密罪被淹死在地中海里。而

这种新数，由于不好理解，后来被命名为“无理数”。但在中国并未出现此一数学危机。至于中国古人因何如此淡定，请读者继续往下看。

西方数学之第二次危机是由无穷小量引起的，它反映了有限与无穷之矛盾。很早以前，人们就对长度、面积、体积等度量问题深感兴趣。古希腊天文学家和数学家欧多克索斯（Eudoxus，前408-前355年）引入量之观念来考虑连续变化，并完全依据几何来严格处理连续量，从而造成数与量之长期脱离。不久，便产生了以芝诺（Zeno，约前490-约前425年，古希腊数学家、哲学家）悖论为代表之数学危机。芝诺悖论有四个，由于大同小异，在此只详细介绍前两个（第三个悖论是“飞矢不动”，第四个悖论是“游行队伍悖论”）：

(1)  运动不存在。因为运动物体到达目的地之前必须先到达中点，而到达中点之前又必须到达中点之中点……如此下去，到达目的地必须先通过无限多个点，而这在有限之时间内办不到。

(2)  跑步健将阿喀琉斯（Achilles，《伊利亚特》中的希腊英雄）追不上在其前面之乌龟。因为乌龟在前，阿喀琉斯必须先到达乌龟之起点，然后用第一个悖论的逻辑，则会发现乌龟永远在其前头。

芝诺悖论说明，古希腊人当时已经在面对无穷小所引起之混乱。

《庄子·天下》有言：

一尺之棰，日取其半，万世不竭。

庄子并非职业数学家或科学家，但关于无限、无穷小之现象，他似乎已了然于胸。中国古代不会出现这一数学危机，窃以为得益于中国古人之生活与处世态度。要说明这一点，还需引入现代数学之分支之一，即分形几何。从哲学上来讲，分形几何研究的就是观测精度与物体测度之关系。（测度为数学专业词汇，非数学专业之读者可简单将其理解为长度、面积与体积之总称。）

如两个山头间之距离，若用光线来测量，直接照射过去，可得S1；若是用皮尺来测量，则必须下山、上山，可得S2；下山与上山的路上难免有些土包、坑洼、裂缝，虽然人可一跃而过，但若测量之主体生物是只蚂蚁，它只好爬上小土包、爬下坑洼、爬进裂缝，然后继续前进，才能得到新长度S3。不难想象，此三次测量满足S1<<S2<<S3（符号“<<”表示“远远小于”）。之所以如此，是因为提高了测量之精度。若还能找到单位长度比蚂蚁之度量单位还小的生物或尺子，则可测出更大的长度。由此可以推论，若观测精度无限大，即尺子之单位长度或最小刻度无穷小，则可测得任意不同两点之间之真实距离为无穷大。这当然也是个哲学悖论，因为我们总能以有限速度在有限时间内到达另一个可落脚处，这又是如何做到的呢？窃以为，凡此种种，皆取决于观测之精度。

中庸之道告诉我等，做人不可精度要求得太高，“人至察则无徒，水至清则无鱼。”也许，佛祖——若真有佛祖——对世界正是采用了极低之观测精度，才能形成“众生平等”之观测结果，才能认识到“众生皆有佛性”。若采用较低之观测精度，此时观测工具（可以是实际的尺子，亦可以是虚拟之物）之单位长度较大，则高精度之褶皱、起伏都将被忽略。读者不妨想象一下，人在走路时可轻易地忽略路面上对蚂蚁造成很大障碍之小裂缝，这正是人采用较大之单位长度（对应低精度）从而抹杀掉高精度小裂缝之生动实例。

明白精度与测度之关系后，再回头来看芝诺悖论，就会豁朗开朗，并明白其症结所在：芝诺悖论不过是无穷次被放大之精度所带来的认知性矛盾而已。由于任何物种与机器之观测精度总是有限的，因此芝诺悖论也仅仅存在于想象中而已，现实中并不会发生。但西方人为此迷惘了数百年。

第三次数学危机近在19世纪末至20世纪初，当时之数学空前地兴旺发达，大多数数学家都在推动公理化运动，探讨数学之基础与数理逻辑等问题。当时也是现代数学一些新分支之兴起时期，如抽象代数学、点集拓扑学、代数拓扑学、泛函分析、测度论与可积理论等学科。这些学科之出现，使得公理体系之构建变得极其重要。

是否存在一种公理体系，普适于所有数学学科？答案是否定的。三角形之内角和是否等于180度？过直线外一点是否有且只有一条直线与已知直线平行？若读者只学过中学阶段之平面几何，则答案是肯定的。但事实并非如此！过直线外一点，平行线可以不唯一甚至无限多。而三角形内角和等于180度，也仅仅是在欧几里得（Euclid，公元前300年左右，古希腊数学家）几何体系中才成立。若三角形内角和大于180度，则属于黎曼（Riemann，1826-1866年，德国数学家、物理学家）几何，此时两点可能决定无穷条直线；若三角形内角和小于180度，则属于罗巴切夫斯基（Lobachevsky，1792-1856年，俄罗斯数学家）几何，此时直线外可能不存在平行线。

不管是哲学上还是数学上，都不存在囊括一切元素之集合。英国哲学家、数学家、逻辑学家威廉·罗素（W.Russell，1872-1970年）于1900年前后提出了著名悖论，其通俗版本是：若某个理发师只给那些不自己理发之人理发，则该理发师自己的头发谁来理呢？显然，不管如何回答，都会陷入二难境地。《唐·吉诃德》中有一则故事：桑丘跑到一个小岛做国王后，命令每个进入该岛之人都必须回答“你来此何干”这一问题。若答错了，就将其绞死。一日来了一人，他被问后答道：“我来此就为被绞死。”试问桑丘是该让他在岛上玩，还是将其绞死？若让他在岛上游玩，则属于错误答案，他要被绞死；若将其绞死，则属于正确回答，又该任其游玩。不管怎么执行，都将使规则受到破坏。

上述集合论悖论，在现实生活中亦处处可见。如人类社会普遍实行之行政领导制度，从根本上说即含有这种集合论悖论机制。从“官”之体制与职能来讲，其代表着所管范围内全体公民之整体利益；但从人员对象来讲，“官”又是集合中之一员。即使从集合外派人去领导，本质上仍改变不了其为所辖集合中一员之实质，从而产生了“元素大于集合”之悖论。这就是任何一个社会，任何一种制度下，官场中总有徇私舞弊、贪赃枉法等腐败现象且屡打不绝之症结所在。

还可以宗教为例。教会中人经常说“上帝与你同在”、“上帝创造了这个宇宙”等，这表明上帝与人类同在一个宇宙。然而由于“上帝是万能的”，这就产生了元素大于集合之悖论。况且，在上帝创造这个宇宙之前，他老人家住在哪里？《圣经》好像没说过有两个宇宙。前些年听说罗马教廷终于在350多年后为意大利物理学家、天文学家伽利略（Galileo，1564-1642年）平反，承认其天文学说，这是否意味着教会终于承认上帝既未创造宇宙也非万能的呢？

平时只要多多留意就可发现，类似之悖论在经济社会中、心理学上乃至日常生活里都有其表现。若能把这种思想上升到意识，将更有利于社会治理、通用管理与科研等活动。

（明）罗懋登《三宝太监下西洋记》第一回“盂兰盆佛爷揭谛　补陀山菩萨会神”中描述佛祖曰：

能变能化，无大无不大，无通无不通。

这些其实都很好地解释了罗素悖论是不会发生的。中国古人构造神话体系时尚且让神仙各司其职，怎么可能会认为存在包含一切元素或集合之集合呢？

不管是古代中国还是现代中国，都不会有人提出罗素悖论，也不会产生第三次数学危机。这是因为，中国人很热衷于“常识”，而很少去追究常识背后之原理。在中国，不管多普通之学生，也不可能像牛津大学之博士生那样，在毕业论文中只讨论“加糖是为了使冰激凌变甜”或“加粗、加黑是为了使文字更显眼”之类的课题。对于常识之追究，使得西方终于走上了科学之路，也饱尝了种种思想危机；而中国人对常识只采取默认之态度，虽然不可能很早地从哲学进入科学，但也低精度地“忽略”了种种思想危机。

中国古人低精度之生活与治学态度，使得在古代一直不能发展出系统之科学，更不可能向（需要高精度之）微观世界迈进。再如，中国人早在两千多年前就知道宇宙是空间与时间之总和（如《尸子》、《庄子》《淮南子》等认为：上下四方曰宇，往古来今曰宙），在时空观上达到了超前西方人2300余年之辉煌见解，但他们并未进一步去探讨空间之维度问题。因为古中国之学者们几乎不考虑纯粹抽象之数学，这种低精度——因为现实问题精度都不会太高——之治学态度也就决定了研究问题之取向。而西方的数学家们喜欢放纵思维于纯粹抽象，关于这一点，从当今之高等数学中充满了高维度变量就可见一斑。

精度决定测度之问题，若要继续论证，还需引入维度之概念。若某空间中之元素至少需要个变量来标记，则该空间为维的。比如说，数轴只需要一个变量标记，因此其为一维；平面至少需要两个变量，则其为二维；立方体至少需要三个变量，则其为三维。这就是一维直线、二维平面、三维空间之来历。该定义是基于坐标系的，或者说是找线性空间之基（最小无关向量组）。关于空间之维度，还有分形定义，本节暂不叙述。

如下图-左所示，设电线两端分别为A、B，且设A为参照点。其上小鸟之位置，只需要一个变量便可将其标记出来。这个变量，就是小鸟所站立之处距离A点的距离，设为。根据上述代数定义，以小鸟为参照来观测，则电线只是一维的。但若在电线上之生物并非小鸟，而是体型很小的蚂蚁，则情况将大大不同。由于蚂蚁很小，若只知道它距A点之距离，则很可能仍找不到它，因为若电线截面直径比蚂蚁身躯大，则蚂蚁可能会被遮挡在另一面（参考下图-右）。因此，要想精准地找到蚂蚁，则至少需要两个变量，其一为上述之，另一则是绕电线表面之观测角度，设为。如此看来，以蚂蚁为参照来观测，则电线是二维的。读者可以试着想象站在太空看北半球，则南半球之人会被地球挡住，因此地球表面定位，需要二维变量，其通常采用经度与纬度。

小鸟、蚂蚁与电线之观测维度

进一步考虑可穿透金属之细菌，由于其可以渗入电线内部，因此即便知道了长度与角度，也不一定能找到细菌在哪。要想精准定位细菌，这时还需要知道其钻入之深度，设为。可见，以细菌为参照来观测，电线竟然变成了三维的。读者试想，从地下采矿，除了要知道经纬度，是否还需要知道深度呢？事实上，若不断地增加观测之精度，则电线之维度会不断增加。根据目前之超弦理论，它可被扩充至十维。这一点，是古中国之学者难以理解也无法接受的。