数与图(15)——求导数
在上篇《数与图(14)——微积分初步》中，我们介绍了微分、导数及积分的定义，有了定义，就可以根据定义推演出计算方法，本篇文章讨论导数的算法：首先用程序求解，然后给出数学上的标准解法。
在《数与图（9）——幂函数曲线》一文中，我们讨论了幂函数
并绘制了函数的曲线，本文及后续的几篇文章将继续以该函数为例，讨论相关的微积分计算方法，首先讨论导数的计算方法。
导数的定义是dy/dx，那么如何确定dy和dx的值呢？具体方法分四个步骤：
确定要计算的点D的x0坐标；
在x轴上x0的右边临近处找到一点x1，则有dx=x1-x0（注意x0与x1的顺序）；
求x0和x1所对应的函数值y0和y1；
用(y1-y0)/dx得到D点的导数值（注意y0与y1的顺序）。
以上是根据导数的定义推演出的计算方法，为了计算方便，我们选定x0=1，设dx分别为1、0.1、0.01……1x10-9，并求出不同的dx下导数的值。显然，对人类来说，这样的计算任务即繁琐又乏味，而这恰好是计算机最擅长的工作。
一、导数的程序算法
本文要实现两个目标：
针对不同的dx，求出x=1处函数的导数值；
绘制幂函数曲线，并绘制函数曲线过D点的切线，设切线的方程为y=kx+b。
1、改造用户界面
将“画双曲线”项目另存为“微积分”，并将Screen1的标题设为“微积分初步”，在水平布局5中添加两个标签组件，设标签2的字号为12；隐藏原来的图片组件；在水平布局4中添加一个“幂函数按钮”，如图1所示。我们将用标签1来显示dx，用标签2来显示导数的计算结果。
图1 改造用户界面
另外，由于幂函数的函数值随|x|的增加而激增，因此，我们将x限定在[-2,2]区间内，这样y值就可以限定在-40与60之间。修改文本输入框中的绘图数据，如图1所示。
2、编写程序
（1）全局变量
声明一个全局变量“D点x”，设其初始值为1，如图2所示。
图2 声明全局变量
（2）有返回值过程
a、幂函数及一次函数
这两个过程只是简单地求函数值，给定一个x值，返回一个y值，其中一次函数还需指定参数k和b的值，代码如图3所示。
图3 有返回值过程：幂函数及一次函数
b、幂函数微分
这个过程体现了微分的定义。给定x0及dx，分别计算x0及x1（=x0+dx）所对应的y值，然后求两个y值的差，就得到了函数的微分值，代码如图4所示。
图4 有返回值过程——幂函数微分
（3）无返回值过程
a、求幂函数坐标列表
将绘图所需的数据预先保存在两个列表中，这样可以将计算和渲染隔离开来，提高处理速度。代码如图5所示。
图5 无返回值过程——求幂函数坐标列表
b、求直线坐标列表
理论上讲，画直线有两个点的坐标就足够了，因此下面的过程显然给出了几个多余的数据，可以将循环变量的增量改为“最大X-最小X”，来减少数据的冗余。代码如图6所示。
图6 无返回值过程——求直线坐标列表
（4）事件处理程序
为幂函数按钮编写点击事件处理程序，代码如图7所示。在这段程序中，首先绘制幂函数的曲线，然后针对x0=1的D点，利用循环语句逐渐减小dx的值（除以10），计算D点的导数值k，并将计算结果拼接成字串，最后求直线的坐标列表，并绘制曲线在D点的切线。
图7 幂函数按钮的点击事件处理程序
在图7中，在调用求直线坐标列表的过程时，利用了求直线方程的知识，即，已知直线斜率k及直线上一点(x0,y0)，则可以根据y0=k*x0+b求出b值。
另外，在标签2的第一行中，显示了斜率k的反正切值，这是一个角度，它是曲线的切线与x轴之间的夹角。
3、测试
对上述程序进行测试，其结果如图8所示。
图8 程序的测试结果
仔细观察测试结果，可以得出如下结论：随着dx的减小，dy也随之减小，导数值逐渐收敛到64.525。值得怀疑的是α角的值，标签2中显示α=89.11211，这是一个接近于90度的角度，图中的切线应该近乎平行于y轴，但实际的切线显然不是，这是由于两个坐标轴的缩放比例有所不同。如果我们有足够大的坐标纸，让两个坐标轴的缩放比例保持相等，那么得到的就是一条方向正确的切线。
二、数学中的求导方法
在数学中，幂函数的求导有特定的方法：对于n次幂函数y=axn，其一阶导数为y’=naxn-1。
对于上述方法，有两点需要解释：
y’：通常用y’表示函数y的一阶导数。
一阶：对于n次幂函数而言，可以进行n+1次求导，每求导一次，“阶”数就增加1，例如，y’称作函数y的一阶导数，如果再对y’进行求导，就得到y的二阶导数y’’。
在《数与图（6）——多项式乘法》中，我们求得了式⑴的计算结果（图8）
1xxxxxx+1.1xxxxx-17.75xxxx-15.875xxx+68.375xx+34.9x-31.5
将其改写为我们熟悉的函数表达式
y=x6+1.1x5-17.75x4-15.875x3+68.375x2+34.9x-31.5
对上述函数求导，得到如下结果
y’=6x5+5.5x4-71x3-47.625x2+136.75x+34.9 ⑵
将x=1带入到⑵式中，得到y’=64.525。这个结果与程序求解的结果吻合。
以上我们分别用程序方法和数学的方法求解了幂函数在D点的导数，并绘制了函数的曲线，以及曲线在D点的切线。数学方法是冷冰冰的，结果是一丝不苟的；程序方法是生动有趣的，它更有助于我们对数学方法的理解和体会，虽然存在一定的误差。