《下学葊算书》之三边和较之求勾股两角术(16)
《下学葊算书》之三边和较之求勾股两角术(16)
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着《下学葊算书》之勾股形章，主要涉及已知一直角三角形三边或两边之和或差，求其两锐角。在以下各题中每题只有两条件，即只有两已知数。
关键词：勾弦较 弦较较 余切 正切 比例四率
以下各题皆取材自清‧项名达着之《下学葊算书二‧平三角和较术‧勾股形》。本文所引述之问属深奥之列，特别涉及倍角及复角公式部分。
若已知一直角三角形三边或两边之和或差，求其两锐角。在以下各题中每题只有两条件，即只有两已知数。
又在以下各题中，项名达只说出其解法，但无说明理由，因各题涉及三角倍角或复角公式，此意味清代可能有三角倍角或复角公式之说。
另一方面，清代代数学未形成，项名达能解此等复杂之三角题絶非易事。另外笔者发现项名达采用疑似解一元二次方程式之公式。
本文各题皆以图解法解各题，原书无图，今依各题题意而绘制。
下左图为一般之直角三角形图，右图为验证数字：
﹝一﹞有勾弦较有弦较较，求两角。
题问已知一勾股形之勾弦较及弦较较，求其两锐角。
解：
以下为弦较较之定义：
已知弦 = z，第一较字指勾股之差，即股 – 勾 = y – x，第二较字指勾股差与弦之差。所以弦较较 = z–(y – x) = z – y+ x 。
以下为有〈勾弦较有弦较较图〉：
先作出 ABC 主三角形，∠BAC 之半为 θ，∠ABC之半为 β。延长 BC 至 D，使 BD = AB，于是 CD 是为勾弦差。又延长 AC 至 E，使 AE = AB，于是 CE 是为股弦较。又延长 CE 至 F 点，使 EF = CB = 勾，于是 CF 是为弦较较。求得β 后，即可得两角。
已知勾弦较 CD = z – x = v，弦较较 CF 为 z – y + x = t。容易证明
∠CDA = 90o– β， ∠CAD = β。又∠AEB = 90o – θ，∠CBE = θ。
从图可知 2θ + 2β= 90o，即 θ + β = 45o。此条件以下各题皆合用。
又从上图可知：
= tan (90o – β) = cot β，AC = CD cot β，AC = v cot β。
= tan 2β，BC = AC cot 2β = v cot βcot 2β---------------------- (1)
= tan θ，EC = BC tan θ = BC tan (45o – β) ---------------------- (2)
EC + BC = EC + EF = CF ----------------------------------------------- (3)
将 (2) 代入(3) 得
BC tan (45o– β) + BC = BC[tan (45o – β) + 1] = CF = t------------ (4)
以 (1) 代入(4) 得 v cot βcot 2β[tan (45o – β) + 1] = t
v cot β
[
+ 1] = t
(cot β – 1)(cot β + 1) [
+1] = t
(cot β – 1) 2cot β = t
v(cot β – 1) cot β = t，今设cot β = w，故可写成：
v(w – 1)w = t
vw2 – vw – t = 0，依公式解 w：
w =
[v +√(v2 + 4vt)]，
即 cot β =
[v +√(v2 + 4vt)]。
验算：
若 β = 30，z – x = v = 2 – 1 = 1，z – y + x = t = 2 –√3 + 1 = 3 –√3。代入上式得：
cot β =
{1 +√[12+ 4(3 –√3)]}
=
{1 +√[1 + 12 – 4√3]}
=
{1 +√[13 – 4√3]}
=
[1 +√(2√3 – 1)2]
=
[1 + 2√3 – 1]
=√3。
即cot β = √3，即 β = 30o，配合预设之值。故此三角形之两锐角为 60o及 30o。
或作如此验算：
v cot βcot 2β[tan (45o – β) + 1]
= cot 30ocot 60o[tan 15o + 1]
= √3×
(2 – √3 + 1)
= 3 – √3
= t﹝合所问数值﹞。
《下学葊算书》曰：
法以四因勾弦较为一率，四因弦较较，加勾弦较为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数加半径之半为勾旁半角余切。
清代数学界流行所谓“比例四率”，即
=
，移项得：
四率 =
。
文意指四因勾弦较为一率，即 4v；四因弦较较，即 4t，加勾弦较为二率，即 4t + v，所以：
四率 =
。开方得 半径
= 半径
。
开方得数加半径之半即[
半径 +半径
]，
勾旁半角余切 = cot β =
半径 +半径
。若半径 = 1，与笔者之答案配合。
项名达之解题多含“半径”一项，相信为配合四率而为之，若“半径”为 1，则与笔者之答案配合，本题亦如是。
另一方面，项名达之答案与现代解一元二次方程式之公式相若，故清代可能已有此公式。
﹝二﹞有勾弦较有弦和和，求两角。
题问已知一勾股形之勾弦较及弦和和，求其两锐角。
解：
已知勾弦较z – x = v，弦和和= z + x + y = s。以下为弦和和之定义：
已知弦 = z，第一和字指勾股和，即股 + 勾 = y + x。第二和字指勾股和与弦之和，所以弦和和 = z + (y + x) = z + y + x 。
先作出 ABC 主三角形，∠BAC 之半为 θ，∠ABC之半为 β。延长 BC 至 D，使 BD = AB，于是 CD 是为勾弦差。又延长 AC 至 K，使 CK = CB。又延长CA 至 G 点，使 AG = AB = 弦，于是 GK 是为弦和和。求得β，即可得两角。
已知勾弦较 CD = z – x = v，弦和和 GK 为 z + y + x = s。容易证明
∠CDA = 90o – β，∠CAD = β。又∠G = θ。又 2θ + 2β = 90o，即 θ + β = 45o。
从下图可知：
在∆ACD 中，
= tan (90o – β) = cot β，AC = v cot β。
在∆ABC 中，
= tan 2β，BC = AC cot 2β = v cot βcot 2β﹝将AC 代入﹞。
从弦和和可知：
BA + AC + BC = BC + v + AC + BC = 2BC + v + AC = s
即 2v cot βcot 2β+ v + v cot β = s
2v cot β
+ v + v cot β = s
v(cot2 β – 1) + v + v cot β = s
vcot2 β – v + v+ v cot β = s
vcot2 β + v cotβ – s = 0，依公式解 cot β：
cot β =
[–v +√(v2 + 4vs)]。
以下为有〈勾弦较有弦和和图〉：
验算：
若 β = 30o，z – x = v = 2 – 1 = 1，z + y + x = t = 2 +√3 + 1 = 3 +√3。
已知 cot β =
[–v +√(v2 + 4vs)]，代入数字得：
cot β=
{–1 +√[12+ 4(3 +√3)]}
=
{–1 +√[1 + 12 + 4√3]}
=
{–1 +√[13 + 4√3]}
=
[–1 +√(2√3 + 1)2]
=
[–1 + 2√3 + 1]
=√3。
即 β = 30o。
《下学葊算书》曰：
法以四因勾弦较为一率，四因弦和和，加勾弦较为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数减半径之半为勾旁半角余切。
仍用“比例四率”，即
=
，移项得：四率 =
。
四因勾弦较为一率，即 4v；四因弦和和，即 4s，加勾弦较为二率，即
4s + v，所以：
四率 =
。开方得 半径
= 半径
。
开方得数减半径之半即[–
半径 +半径
]，
勾旁半角余切 = cot β = –
半径 +半径
。若半径 = 1，与笔者之答案配合。
﹝三﹞有勾弦和有弦较和，求两角。
题问已知一勾股形之勾弦和及弦较和，求其两锐角。
解：
已知勾弦和z + x = p，弦较和= z – x + y = q。以下为弦较和之定义：
弦 = z，较指勾股较即股 – 勾 = y – x。第三之和字指弦与勾股较之和，所以弦较和 = z+ (y – x) = z + y– x 。
以下为〈有勾弦和有弦较和图〉：
先作出 ABC 主三角形，∠BAC 之半为 θ，∠ABC之半为 β。延长 CB 至 H，使 BH = AB，于是 CH 是为勾弦和。又延长 CA 至 G，使 AG = AB。在 CA 取 F 点，使 CF = CB = 勾，AF 是为勾股较， FG 是为弦较和 z + y – x。求得 β 后，即可得两角。
从上图可知：
在 ∆AHC 中，
= tan β，AC = HC tan β = p tan β --------------------- (1)
在 ∆ABC 中，
= cot 2β，BC = AC cot 2β ------------------------------(2)
代 (1) 入 (2) 得BC = p tan β cot 2β，
因为 BC = FC，HB = AB = AG ，HB = p – p tan β cot 2β，
列成等式：
AG + AF = AB + AC – BC = p – p tan β cot 2β + ptan β – p tan β cot 2β = q
即 p – 2p tan βcot 2β + p tan β = q
p – 2p tan β
+ p tan β = q
p – 2p tan β
+ p tan β = q
p – p(1 – tan2 β) + p tan β= q
p tan2 β + p tan β = q
p tan2 β + p tan β – q = 0。
依公式解 tan β：
tan β =
[– p +√(p2 + 4pq)]。
验算：
若 β = 30o，z + x = p = 2 + 1 = 3，z + y – x = q = 2 +√3 – 1 = 1 +√3。
已知 tan β =
[–p +√(p2 + 4pq)]，以数字代入得：
tan β =
{–3 +√[32+ 12(1 +√3)]}
=
{–3 +√[9 + 12 + 12√3]}
=
{–3 +√[21 + 12√3]}
=
[–3+√(2√3 + 3)2]
=
[–3 + 2√3 + 3]
=
[ 2√3]
=
=
。
即 β = 30o。
《下学葊算书》曰：
法以四因勾弦和为一率，四因弦较和，加勾弦和为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数减半径之半，为勾旁半角正切。
依然用“比例四率”，即四率 =
。
四因勾弦和为一率，即 4p；四因弦较和，即 4q，加勾弦和为二率，即
4q + p，所以：
四率 =
。开方得 半径
= 半径
。
开方得数加半径之半即[
半径 +半径
]，
勾旁半角正切 = tan β =
半径 +半径
。若半径 = 1，与笔者之答案配合。
﹝四﹞有勾弦和有弦和较，求两角。
题问已知一勾股形之勾弦和及弦和较，求其两锐角。
解：
已知勾弦和z + x = p，弦和较= x + y – z= d。以下为弦和较之定义：
已知弦 = z，和指勾股和即股 + 勾 = y + x。第三之较字指弦与勾股和之差，所以弦和较 = (y + x) – z = x + y – z 。
先作出 ABC 主三角形，∠BAC 之半为 θ，∠ABC之半为 β。延长 CB 至 H，使 BH = AB，于是 CH 是为勾弦和。又延长 AC 至 K，使 CK = CB。在 CA 取 D 点，使 AD = AB = 弦，因此 KD 是为弦和较。求β，求得 β 后，即可得两角。
从下图可知：
∆ABH 为等腰；∆BCK为直角等腰。
AC + CK = y + x ，AC + CK – AD = y + x – z = DK 是为弦和较。
在 ∆BDK 中，依正弦定理可得：
=
=
可得 BD =
--------------------------------------------------- (1)
在 ∆BCD 中，CD = BD sin θ 及
CB = BD cos θ ------------------------------------------------------------- (2)
已知 勾弦和 z + x = p 即 z = p – CB = p – BD cos θ。
在 ∆AHC 中，AC = p tan β
又在 ∆ABC 中， AC = CB tan 2β，CB tan 2β = p tan β--------- (3)
代 (2) 入 (3) 得BD cos θtan 2β = p tan β --------------------------- (4)
代 (1) 入 (4) 得
cos θ tan 2β = p tan β
cos(45o – β)tan 2β = p tan β﹝因为 θ = 45o – β﹞
×
(cos β + sin β)
= p tan β
(
+
)
= p tan β
(
+
)
= p
(
+ 1)
= p
d
= p
d = p(tan β – tan2 β)
p tan2 β – p tan β + d = 0
依公式解tan β：
tan β=
[p +√(p2 – 4pd)]。
验算：
若 β = 30o，z + x = p = 2 + 1 = 3，x + y – z = d = 1 +√3 – 2 = √3 – 1 。
因为 tan β =
[p +√(p2 – 4pd)]，代入数字：
tan β=
{3 +√[32– 12(√3 – 1)]}
=
{3 +√[9 – 12√3 + 12]}
=
{3 +√[21 – 12√3]}
=
[3+√(2√3 – 3)2]
=
[3 + 2√3 – 3]
=
[ 2√3]
=
=
。
即 β = 30o。
《下学葊算书》曰：
法以四因勾弦和为一率，四因弦和较，减勾弦和为二率，半径自乘为三率，求得四率，开方得数加半径之半，为勾旁半角正切。
依然用“比例四率”，即四率 =
。
四因勾弦和为一率，即 4p；四因弦和较，即 4d，减勾弦和为二率，即
p – 4d，所以：
四率 =
。开方得 半径
= 半径
。
开方得数加半径之半即[
半径 +半径
]，
勾旁半角正切 = tan β =
半径 +半径
。若半径 = 1，与笔者之答案配合。
以下为《下学葊算书二‧平三角和较术‧勾股形》原文：