哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想（Goldbachsconjecture）是数论中存在最久的未解问题之一。这个猜想最早出现在1742年普鲁士人克里斯蒂安哥德巴赫与瑞士数学家莱昂哈德欧拉的通信中。用现代的数学语言，哥德巴赫猜想可以陈述为：
“任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。”
这个猜想与当时欧洲数论学家讨论的整数分拆问题有一定联系。整数分拆问题是一类讨论“是否能将整数分拆为某些拥有特定性质的数的和”的问题，比如能否将所有整数都分拆为若干个完全平方数之和，或者若干个完全立方数的和等。而将一个给定的偶数分拆成两个素数之和，则被称之为此数的哥德巴赫分拆。
换句话说，哥德巴赫猜想主张每个大于等于4的偶数都是哥德巴赫数——可表示成两个素数之和的数。哥德巴赫猜想也是二十世纪初希尔伯特第八问题中的一个子问题。
其实，也有一部分奇数可以用两个素数的和表示，大多数的奇数无法用两个素数的和表示，例如：15=2+13，而23、35等数则无法用两素数的和表示。
哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。目前最好的结果是中国数学家陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。
哥德巴赫猜想另一个较弱的版本（也称为弱哥德巴赫猜想）是声称大于5的奇数都可以表示成三个素数之和。这个猜想可以从哥德巴赫猜想推出。1937年，苏联数学家伊万维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数，都可以表示成三个素数之和，基本证明了弱哥德巴赫猜想。
起源
1742年6月7日，普鲁士数学家克里斯蒂安哥德巴赫在写给瑞士数学家莱昂哈德欧拉的通信中，提出了以下的猜想：
任一大于2的整数都可以写成三个质数之和。
上述与现今的陈述有所出入，原因是当时的哥德巴赫遵照的是“1也是素数”的约定。现今数学界已经不使用这个约定了。哥德巴赫原初猜想的现代陈述为：
任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
欧拉在6月30日的回信中注明此一猜想可以有另一个等价的版本：
{displaystyle(A):}(A):任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
并将此一猜想视为一定理，但他却无法证明。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：
{displaystyle(B):}(B):任一大于5的奇数都可写成三个素数之和
的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇素数都能写成三个素数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉多夫定理”或“三素数定理”。2013年，秘鲁数学家哈洛德贺欧夫各特等人将维诺格拉多夫的结论进一步加强，并验证了较小的奇素数的情况，宣称完全证明了弱哥德巴赫猜想。
一百六十余年的沉寂
哥德巴赫猜想相当困难。直至今日，数学家对于哥德巴赫猜想的完整证明没有任何头绪。事实上，从1742年这个猜想正式出现，到二十世纪初期，在超过160年的时间里，尽管许多数学家对这个猜想进行了研究，但没有取得任何实质性的进展，也没有获得任何有效的研究方法。二十世纪以前对哥德巴赫猜想的研究，仅限于做一些数值上的验证工作，提出一些等价的关系式，或对之做一些进一步的猜测。1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个希尔伯特问题之中的第八个问题，就包括了哥德巴赫猜想和与它类似的孪生素数猜想。希尔伯特的问题引发了数学家的极大兴趣，但对于哥德巴赫猜想的研究仍旧毫无进展。1912年第五届国际数际数学家大会上，德国数论专家爱德蒙朗道曾经说过，即使要证明每个偶数能够表示成K个素数的和，不管K是多少，都是数学家力所不及的。1921年，英国数学家戈弗雷哈罗德哈代曾经在哥本哈根数学会议的一次演讲中声称：“哥德巴赫猜想的困难程度可以与任何一个已知的数学难题相比”。
第一次重大突破
哈代和朗道做出以上的看法时，对强哥德巴赫猜想的研究已经踏在了突破的门槛上。关于哥德巴赫猜想的第一次重大突破正是出现在二十世纪20年代。这次突破与十九世纪至二十世纪初欧洲数学家们在数论与函数论方面取得的辉煌成就是分不开的。欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿达马等人的成果为后来的研究提供了强有力的工具和深厚的积累，打下了牢固的基础。1920年左右，英国数学家哈代和约翰伊登斯尔利特尔伍德极大地发展了解析数论，建立起了“圆法”等研究数论问题的有力工具。他们在1923年合作发表的论文中使用“圆法”证明了：在假设广义黎曼猜想成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个素数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数的和。当然，“几乎每一个”与“每一个”之间仍然有巨大的技术鸿沟。
大约于此同时，挪威数学家布朗提供了另外一种证明的思路。1919年，他使用推广后的“筛法”证明了：所有充分大的偶数都能表示成两个数之和，并且两个数的素因数个数都不超过9个。这个方法的思路是：如果能将其中的“9个”缩减到“1个”，就证明了哥德巴赫猜想。布朗证明的命题可以被记作“9+9”，以此类推，哥德巴赫猜想就是“1+1”。
弱哥德巴赫猜想的解决
这两种思路都在二十世纪中得到了极大的发展。1933年，苏联数学家列夫杰里科维奇史尼尔曼同样基于筛法证明了：存在某个整数K，使得每个偶数能够表示成K个素数的和，弥补了朗道的遗憾。史尼尔曼给出的K的上限是800000，不久后罗曼诺夫证明了这个K不会超过2208。1936年，朗道和彼得希尔克把结果改进到71，一年后意大利数学家吉奥凡尼里奇又将结果改良为67。1956年，Sharpio证明了K不超过20，1956年尹文霖证明了K不超过18。1976年，英国数学家罗伯特查尔斯沃恩证明了K小于等于6。
1937年是弱哥德巴赫猜想的研究取得重大突破的一年。首先，T艾斯特曼证明了：每个充分大的奇数都可以表示成两个奇素数和一个不超过两个素数的乘积的数的和：
{displaystyle2N+1=p_{1}+p_{2}+p_{3}p_{4}}2N+1=p_{1}+p_{2}+p_{3}p_{4}或{displaystyle2N+1=p_{1}+p_{2}+p_{3}}2N+1=p_{1}+p_{2}+p_{3}
同一年，维诺格拉多夫在使用圆法的基础上，去掉了哈代和利特尔伍德的成果中对于黎曼猜想的依赖。也就是说，维诺格拉多夫证明了：每个充分大的奇数都能表示为三个素数的和，以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数的和。维诺格拉多夫的证明使用到了他独创的方法来对以素数为变数的指数和{displaystyleS(t,N)}S(t,N)做出更细致的估计，也就是说更好地划分优弧和劣弧并直接估计出劣弧上的积分可以忽略，而不用到广义黎曼猜想。唯一的不足是：维诺格拉多夫并没有给出“足够大”的下限。后来波罗斯特金在1956年给出了一个可计算的下限：{displaystylee^{e^{16.038}}}e^{{e^{{16.038}}}}，也就是说大于{displaystylee^{e^{16.038}}}e^{{e^{{16.038}}}}的整数都可以写成三个素数的和。1946年，苏联数学家尤里弗拉基米罗维奇林尼克沿着哈代和利特尔伍德的道路前进，使用函数论的方法同样证明了维诺格拉多夫的结果。然而，维诺格拉多夫的定理中的下限对于实际应用来说仍然太大了。
{displaystylee^{e^{16.038}}}e^{{e^{{16.038}}}}写出来有6846168位数字，要验证之前的偶数都能写成两个素数的和，计算量仍然太大。1989年陈景润与王元将这个下限减低到1043000.5，2001年廖明哲及王天泽进一步将下限降至e3100≈101346.3，但仍然与实际验证过的范围（4ｘ1014）有很大距离。而如果假设广义黎曼猜想正确的话，让-马克德苏耶等人在1998年证明了：每个大于等于7的奇数都可以写成三个素数的和（即弱哥德巴赫猜想在广义黎曼猜想正确的假设下的完全证明）。
1938年，华罗庚证明了弱哥德巴赫猜想的一个推广：任意给定一个整数k，每个充分大的奇数都可以表示p1+p2+p3k的形式。当k=1的时候，就是弱哥德巴赫猜想。
由于维诺格拉多夫估计{displaystyleS(t,N)}S(t,N)时使用的方法本质上是筛法，所以数学家也希望用类似圆法的分析方法取代它。1945年，林尼克发展出估计狄利克雷L函数零点密度的方法，并用其证明了劣弧上的积分可以忽略，从而用纯粹的分析方法证明了弱哥德巴赫猜想。这个证明十分复杂，此后几位数学家各自提出了更简化的证明，1975年沃恩提出了首个不依赖估计L函数零点密度的方法，1977年潘承洞得到了仅利用L函数初等性质的简易证明。
2013年5月13日，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德贺欧夫各特，在线发表了论文《论哥德巴赫定理的优弧》（MajorarcsforGoldbachstheorem）宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。贺欧夫各特生于1977年，秘鲁籍，2003年获得普林斯顿大学博士学位。2010年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员。2012年5月，贺欧夫各特发表论文《论哥德巴赫问题的劣弧》（MinorarcsforGoldbachsproblem）中给出了劣弧积分估计的一个更优上界。在这个更优估计的基础上，贺欧夫各特在2013年的论文中将优弧估计的条件放宽，把维诺格拉多夫定理中的下限降低到了1029左右，贺欧夫各特和同事DavidPlatt用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。
强哥德巴赫猜想：布朗方法与陈氏定理
弱哥德巴赫猜想已经基本得到解决，对于偶数的哥德巴赫猜想，数学家们则主要将希望放在布朗的方法上。而二十世纪中叶，数学家们沿着布朗的思路，得到了不少改进后的成果。1924年汉斯拉代马海尔证明了“7+7”，1932年艾斯特曼证明了“6+6”，苏联数学家布赫希塔布在1938年和1940年分别证明了“5+5”与“4+4”。孔恩在1941年提出了“加权筛法”的概念，能在同样的筛函数上界和下界条件下取得更好的结果，他在1954年证明了“a+b”（a+b阿特勒塞尔伯格利用求二次型极值的方法极大地改进了布朗的筛法，对筛函数的上界和下界做出了更精确的估计，从而出现了更优的结果：维诺格拉多夫在1956年证明了“3+3”，王元在1956年证明了“3+4”，并在1957年证明了“3+3”和“a+b”（a+b以及“2+3”。
以上的结果中，没有能够证明偶数分拆成的两个数中一定有一个是素数的。1932年，埃斯特曼证明了，在假设广义黎曼猜想成立的前提下，“1+6”成立。1948年，伦伊阿尔弗雷德利用林尼克创造的“大筛法”，证明了“1+b”的结果[ref2]。1956年，王元与维诺格拉多夫则证明了在同样的假定之下，“1+4”成立。1961年，苏联数学家巴尔巴恩证明了一个可以用来代替广义黎曼猜想的公式的弱化版。1962年，潘承洞也独立证明了此公式的另一个弱化版本，并得到“1+5”。而王元则指出潘承洞的结果其实可以推出“1+4”。潘承洞在同年用加强的结论得到了“1+4”的简化的证明，1963年巴尔巴恩也得到了同样的结果。1965年布赫希塔布则用同样的版本证明了“1+3”。与此同时，恩里科邦别里与维诺格拉多夫也独立地用更简洁的方法证明了“1+3”。
使用布朗方法的最好结果是陈景润得到的。他在1973年发表了“1+2”的证明，其中对筛法作出了重大的改进，提出了一种新的加权筛法。因此“1+2”也被称作是陈氏定理。现今数学家们普遍认为，陈景润使用的方法已经将筛法发挥到了极致，以筛法来证明最终的“1+1”的可能性已经很低了。布朗方法似乎在最后的一步上停止了下来。如今数学界的主流意见认为：证明关于偶数的哥德巴赫猜想，还需要新的思路或者新的数学工具，或者在现有的方法上进行重大的改进，也有认为仅仅基于现有的方法上的改进无法证明偶数哥德巴赫猜想。