八下19讲 期末专题复习3 突破5大板块 搞定反比例典型题

写在前面

上一讲，我们以一道面积小题入手，介绍了4种精彩解法，进入了反比例函数的期末复习，本讲，我们继续对反比例函数中的一些典型题，易错题，分成5大板块进行归纳，相信读完本文后，期末考试中的相关内容你肯定可以搞定．

一、反比例函数的概念及性质

例1：

y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的______函数？

分析：

解答：

变式：

分析：

本题与例1类似，还是需要设解析式，注意取不同的k．

解答：

例2：

分析：

本题很多同学条件反射，选择了②③，写了2个．但问题是，反比例函数的增减性，增加了一句非常关键的话，在每一象限内！因为反比例函数有两支，并非是连续的，x≠0，而且，其增减性可谓与一次函数相反，k＞0，在每一象限内，y随x的增大而减小，k＜0，在每一象限内，y随x的增大而增大．

解答：

1个，仅②

变式：

分析：

解答：

二、画图象，比大小

例3：

分析：

本题若利用特殊值法，分别设3个数表示x1，x2，x3，显得较为繁琐，而利用增减性去考虑，又涉及到不再同一象限，因此，最直观的方法是采用画图象法．

解答：

变式：

分析：

解答：

图象同上，y3＜y1＜y2．

例4

分析：

本题中，k的值不确定，但两个点的横纵坐标的大小关系已经确定，因此，我们可以在坐标系中大致画出点A，点B的位置，点A在第三象限，点B在第一象限，k＞0

解答：

三、用好对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线 y＝x 和y＝－x．有一个对称中心：原点．其中，中心对称应用十分广泛！

例5

分析：

本题，部分同学会这么做，把正比例函数与反比例函数解析式求出来，再联立方程组求另一个交点．但显然，这样的方法非常繁琐，而利用对称性则非常简单，y＝mx为过原点的一条直线，而反比例函数也关于原点中心对称，所以两个交点必然关于原点对称．注意，两个点此时的横纵坐标都互为相反数．

解答：

(1，2)

例6：

分析：

解答：

变式：

分析：

本题可以直接利用对称性解决，A，B两点必

关于原点对称，x1＝－x2，y1＝－y2，但要想办法把所要求的式子作变形处理，使式子变成其中含有一个交点的横纵坐标之积的形式．

解答：

四、与一次函数图象综合

例7：

分析：

由题意，一次函数与反比例函数的k是同一个k，显然，图象(或图象的部分)一定会出现在同两个象限呢，因此，我们可以说，“k相同，必相交”，排除D，再根据一次函数图象与y轴交点为(0，3)，排除B，C．

解答：

A

变式：

分析：

由题意，此时一次函数与反比例函数的k不同了，一个是k，另一个是－k，因此图象不会相交，排除B，易知y＝k(x－1)一定过点(1，0)，所以排除A，D

解答：

C

小结：

这类题，笔者采用了一定的技巧，比如“k相同，必相交”，再如y＝k(x－a)＋b，这样的函数必过点(a，b)，若不用这些技巧，则应该先选定一个函数，比如反比例函数的，根据它的k来判断经过哪些象限，再去确定一次函数经过哪些象限．

五、不等式与面积专题

例8：

分析：

本题可以说是反比例函数的典型题了，包括了求解析式，求面积，对称性，求不等式，描图象等内容，综合性较强，相信你这题全部能不错，则期末考试相关题型肯定能拿下！

(1)由点A坐标，确定反比例函数解析式，由点B横坐标，代入反比例函数中，求得纵坐标，与点A一起代入一次函数解析式，求出解析式．

(2)利用铅锤法，求出AB与y轴交点C的坐标，则△AOB的面积看作△AOC与△BOC的面积之和．

(3)利用点B与点D中心对称，求出点D坐标，进而可用三种方法求△AOD面积．

(4)根据图象，可以描出反比例函数纵坐标大于1的部分，求出此时对应的横坐标的范围，注意临界点．

(5) 一次函数值大于反比例函数值，即反比例函数的图象在一次函数图象的上方，此时，遮住一次函数图象下方的区域，描出反比例函数图象仍旧可见的部分，即可写出范围！

解答：

END