七下第4讲 “永远不肯用”的外角

写在前面

线上已经开学第三周,初一的几何也行将结束,而外角的引入,则让很多同学不适应,笔者取了这个标题“永远不肯用”,是因为很多同学头脑里对三角形内角和为180°充满执念,不愿接受新知识,所以,我开设了这一讲,力图帮你有所突破!

一、知识回顾

三角形的一边与它邻边延长线所组成的角,叫做三角形的外角

如图,把△ABC的边AB延长,得到∠CBD,称为△ABC的一个外角.

“外角”是三角形的外角,

我们称某个角是某个三角形的外角,

而不称三角形某个角的外角.

三角形外角定理

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

如图,在△ABC中,∠CBD=∠A+∠C.

要找外角,我们可以形象的把基本图形生活化,整个外角模型就像一面小旗,外角就是旗杆和旗面下边缘的夹角.

二、专题突破

1、外角再认识

例:

如图,说出图中所有的外角,并指出其是哪个三角形的外角.

分析:

要确定某个角是某个三角形的外角,要先确定这个角的邻补角在哪个三角形中,它就是这个三角形的外角.比如∠1的邻补角是∠2,∠2在△CBE中,则∠1是△CBE的外角.再比如∠3的邻补角有2个,但均不在三角形中,所以不能作外角.而∠4的邻补角有2个,且均在三角形中,则∠4是两个三角形的外角.

解答:

∠1是△CBE的外角,∠2是△ABF的外角,

∠4和∠6是△ABF,△DEF的外角,

∠7是△DFE的外角,∠8是△CDA的外角.

2、借助外角,掌握基本模型

例:

(1)八字形模型

如图,试探究∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系.

分析:

这个模型的结论是∠A+∠B=∠C+∠D,很多同学利用两个三角形的内角和为180°,减去相等的两个对顶角,得出结论,稍显繁琐,我们不妨用外角来证.

证明:

在△AOB中,∠BOC=∠A+∠B,

在△COD中,∠BOC=∠C+∠D,

∴∠A+∠B=∠C+∠D.

2、借助外角,掌握基本模型

例:

(2)平行线拐角模型(续)

如图,试探究∠B,∠BED,∠D之间的数量关系.

分析:

这个模型的结论是∠BED=∠B+∠D,之前我们过点E作平行线证明,但仔细观察这个结论,很像一个外角等于两个不相邻的内角和的形式.因此我们可以尝试把∠BED转化为外角,添加另一种辅助线.

证明:

如图,延长DE交AB于F,

在△BEF中,∠BED=∠B+∠1,

∵AB∥CD,∴∠1=∠D,

∴∠BED=∠B+∠D.

2、借助外角,掌握基本模型

例:

(2)平行线拐角模型(续)

如图,试探究∠B,∠BED,∠D之间的数量关系.

分析:

这个模型的结论是∠B=∠BED+∠D,形式也类似于外角定理,因此,我们同样也可以将∠B转化为外角,这时自然可以发现,同位角和内错角均可实现.

证明:

设BE,CD交于点F,

∵AB∥CD,

∴∠1=∠B,

在△EFD中,∠1=∠BED+∠D,

∴∠B=∠BED+∠D.

2、借助外角,掌握基本模型

例:

(3)规形图模型

如图,试探究∠A,∠B,∠C,∠BDC之间的数量关系.

分析:

这个模型很像数学工具圆规,故称规形图,结论是∠A+∠B+∠C=∠BDC,这个模型,笔者在2017年暑假常州行者聚会学习时,曾受益匪浅,后整理成文《暑假特辑12 从知识体系的顺序过渡,谈对“规形图”结论证明的再认识》,这里我们还是选择两种最经典的外角证法.

证明:

法1:

如图,延长BD交AC于点E,

在△ABE中,∠1=∠A+∠B,

在△DEC中,∠BDC=∠1+∠C,

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C.

法2:

如图,连接AD并延长至点E,

在△ABD中,∠3=∠1+∠B,

在△ADC中,∠4=∠2+∠C,

∴∠BDC=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠C

=∠BAC+∠B+∠C.

2、借助外角,掌握基本模型

例:

(4)翻折模型,折∠A,探究∠A,∠1,∠2的数量关系

如图,AD是△ABC的角平分线,E是BC延长线上一点,∠EAC=∠B,∠ADE与∠DAE相等吗?

分析:

本题的结论是∠1+∠2=2∠A,利用多边形内角和也能证明,简单过程如下,∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)-(∠A'DE+∠A'ED)=360°-(180°-∠A)-(180°-∠A')=2∠A.但是我们也可以利用外角,翻折的常用辅助线作法是作对应点的连线,我们不妨连接AA'.

证明:

连接AA'

由题意得,A'D=AD,∠3=∠4,

A'E=AE,∠5=∠6,

在△ADA'中,∠1=∠3+∠4=2∠4,

在△AEA'中,∠2=∠5+∠6=2∠6,

∴∠1+∠2=2∠4+2∠6=2∠BAC.

3、优解典例分析

例1:

如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

分析:

这样的题,粗看无法下手,这就需要利用外角,或从中抽离出基本模型,通过结论求解.下面给出2种解法.

解答:

法1:

如图,设AC交BE于M,AD交BE于N

在△MEC中,∠1=∠C+∠E,

在△BND中,∠2=∠B+∠D,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°.

法2:

如图,设BD,CE交于点F,

易知∠A+∠C+∠D=∠CFD,

在△BEF中,∠1=∠B+∠E,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠CFD=180°.

3、优解典例分析

例2:

如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.

分析:

本题中,∠D,∠C,∠B在一个四边形中,∠E,∠F在一个四边形中,∠A,∠G在一个三角形中,位置很分散,这就需要将其尽可能靠拢,显然,∠A,∠G的和可以等于一个外角,想到设AB,GF的交点是H,接下来,就可以用多种方法了.

解答:

法1:

如图,设AB,GF交于点H

在△AGH中,∠A+∠G=∠1,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G

=∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠1,

∵∠B+∠C+∠D+∠2=360°,

∠3+∠E+∠F+∠1=360°,

∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠1

=720°-(∠2+∠3)=540°.

法2:

连接BF,∴∠A+∠G=∠1+∠2,

∴∠A+∠CBA+∠C+∠D+∠E+∠EFH+∠G

=∠1+∠2+∠CBA+∠C+∠D+∠E+∠EFH

=∠CBF+∠BFE+∠FED+∠D+∠C=540°.

3、优解典例分析

例3:

如图,AD是△ABC的角平分线,E是BC延长线上一点,∠EAC=∠B,∠ADE与∠DAE相等吗?

分析:

这是一道教科书上的原题,一道经典的外角题,我们拿到题时,首先思考,这两个角可以扮演什么角色,显然,图中∠DAE可看作组合角,即∠DAC与∠CAE的和,而∠ADE若看作内角,无法施展,联想到外角, 是∠B与∠BAD的和,则问题可解.

解答:

∵AD是△ABC的角平分线,

∴∠BAD=∠CAD,

在△ABD中,∠ADE=∠B+∠BAD,

∠DAE=∠CAD+∠EAC,

∵∠EAC=∠B,

∴∠ADE=∠DAE.

本讲思考题

Rt△ABC中,∠C=90°,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.

(1)若点P在边AB上运动,则∠α、∠1、∠2之间的关系为:______;

(2)若点P运动到边AB的延长线上,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由.

答案请下翻哦! 

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