虹野：一句话学好等价无穷小代换
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虹野：一句话学好等价无穷小代换
学习微积分的同学在求极限的时候，可能最喜欢也最害怕的就是“等价无穷小代换”了，这种方法可以使得计算非常的简单，但是却又因为经常出错而不知所措，可谓是对无穷小爱恨交加。
首先我们谈论一下为何能够使用一个无穷小代替另外一个无穷小。在求极限的时两个不同的无穷小其解析式是不同，这就意味着在变化过程中两个函数的相对应的函数值是不相同的，但是当到达极限的时候，结果却又是一样的，我们可以用“殊途同归”来解释这种现象。如sin x和e^x-1在x趋向于0时是等价无穷小，在趋向于零的过程中函数值完全不一样，但是其极限结果却都为零，而且从下面图形可以看到这两个函数越接近零其近似程度越高。
根据极限的“局部性”的特征，在0的附近，两个等价的无穷小是非常接近的，二者的极限是相等的。所以在求极限的时候，对于两个完全不同的曲线来说，如果在极限附近无限接近，在极限处相等，我们就可以认为他们是“等价的”，在求极限的时候就可以进行“代换”。
但是，等价无穷小代换并不是在任何的场合都可以“换”的，毕竟等价的两个无穷小是两个“等价”的函数，而非是两个相等的函数，所以其“代换”是有规律的。这个规律就是定理：两个无穷小比值的极限等于他们各自等价无穷小比值的极限。
只有按照这个规则进行等价无穷小代换，才能个把“等价”和“相等”区分开来。当然由于无穷小形式很多样，看起来似乎并非都是分子分母整体代换，但是最终都还是由这个规律得到的。比如说有的等价无穷小只变了分子；比如说有低阶无穷小加高阶无穷小作为分子或者分母，其结果等价于该低阶无穷小，再结合等价无穷小的传递性，其形式最终大部分都可以归结为与幂函数等价。
等价无穷小代换的规律其实是非常好掌握的，关键在于同学们是否分清楚了“等价”和“相等”的差异，如果能够理解了等价无穷小“殊途同归”的道理，应用的熟练只是时间问题。
虹野 中华教育改进社理事