2021中美洲与加勒比数学奥林匹克 中文翻译

第一天

1.求所有的有序三元素数组, 使得整除, 整除, 整除.

2.已知为 外接圆. 过作过点的的切线的平行线, 与交于点. 直线与 的另一个交点为, 与外接圆再次相交于点. 直线与平分线交于点. 求证: 共圆.

3.将一个网格表中的若干单元格染成黑色, 且满足如下条件: 将一只小老鼠扔进其中任何一个单元格中, 则小老鼠一定可以在上,下, 左, 右这四个方向中选择一个方向, 沿此方向的直线离开网格表, 且图中不经过任意一个单元格.
那么, 为满足这个要求, 至多可以染黑多少个单元格?

第二天

4.某会议有人参加, 已知其中一个人没有任何朋友参会, 另外还有一个人只有一个朋友参会. 此外, 对参会的任意四个人, 其中至少有两个人互为朋友. 当然, 朋友关系是相互的.求证: 这次会议中, 至少有一个个人组成的圈子, 圈子里的所有人互为朋友关系.

5.设为整数, 为正实数, 其中最小的为, 最大的为. 已知对任意三个互异的整数, 若 , 则.  求证:

并求取等条件.

6.中, 为中点. 线段上一点满足. 的外接圆与再次相交于点, 与再次相交于点. 与交于点. 上异于的一点满足.
求证: 共圆.