7.1 学科整体的意义和思想价值立意——高度、视野和境界

摘自《全国卷高考数学分析及应对》

要透彻地分析全国卷，应该理解课标、理解课改理念、理解教材、理解高考，还有一点非常重要的一点是理解数学，这就意味着我们可以从学科整体的意义和思想价值来思考。

一、理解知识的核心意义（以概率统计和集合为例）

1. （2017全国3第19题）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25 ，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？

点评：统计学是研究搜集，整理，分析数据的科学，人们利用样本估计总体情况，并做决策。概率是研究随机现象的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法。全国卷多次考察利用概率统计知识做决策，比如 2016 全国 1 卷的买零件，2017全国 3 卷的买酸奶，2012 的卖玫瑰花等等，特别值得一提的是，2017 全国 3 卷买酸奶需要把进货量和需求量作比较进行分类讨论，而 2012 卖玫瑰花需要把需求量和进货量作比较进行讨论，其思路一致。

二、构建良好的知识结构（以概率统计为例）

3. 【2017 课标 1 文】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：

变式 1：（2016 全国新课标 3）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

点评：相关系数是教材的阅读部分，考试说明指出“会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系”，并没有明确提出求相关系数，我们都很难理解 2016全国 3 卷的这种考法，结果在 2017 全国 1 卷文科第 19 题再次重复，其实在 2012 文科作为选择题已经考察过。如果我们站在整个统计学的高度，又会有不一样的认知：

变量间的关系，是人们感兴趣的问题，在现实世界中大量存在不能用函数模型描述的变关系，研究其关系显得非常重要，回归分析和独立性检验都是非常常用的统计方法，在统计学中占有很重要的地位。其知识框架如下：

从这个角度来看，考察相关系数又是合情合理。散点图是从几何角度直观感知，相关系数是定量刻画，是相关关系判断的两种方法。

三、反复思考这章的核心思想及试题特点（以解三角形为例）

解三角形，结合图形，常常有多个切入点，且更接近实际问题，凸显解三角价值所在，同时也考察了学生分析问题能力，这样的题目很多很多，由此看到全国卷一直非常注重回归图形解三角形。

所谓解三角形是由已知三个独立要素求未知要素或相关要素的过程，方程是这一章的核心工具，方程的思想是这一章的核心思想，全国卷多次考察，也应该引起高度重视。因为涉及多个变量，消元常常是必不可少的，内角和为我们提供了这种关系，这一点例子太多太多，只举两个例子。