推荐学习||四面体与八面体空隙的几何分析

高中化学徐老师

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本文微视频时长12分钟06秒。利用三维虚拟技术从几何学角度较为详细分析了立方与六方最密堆积中的正八面体与正四面体空隙的特点，以及体心立方堆积中变形的八面体与变形的四面体空隙的特点。演绎直观形象、生动，想象力丰富，富有启发性。

以下文字供观看视频参考，但视频有更多的细节。
一、立方与六方最密堆积中的正八面体与正四面体空隙
从晶体中原子排列的刚球模型和对致密度（致密度指晶胞内原子球所占体积与晶胞体积之比值）分析可知，即使是最密堆积，金属晶体中依然存在空隙，这些空隙对金属的性能有重要影响。
晶体结构中最常见的空隙是八面体空隙（图1、2）和四面体空隙（图3、4）。八面体空隙由6个原子围成，四面体空隙由4个原子围成，若设金属原子的半径为rA，空隙能容纳的最大外来原子半径为rB，利用几何关系可求出正八面体与正四面体空隙的rB/rA的比值分别为0.414，0.225。
立方最密堆积晶胞原子个数∶八面体空隙数∶四面体空隙数＝4∶4∶8（图7）【详见《6分钟视频——立方最密堆积的八面体与四面体空隙》】，六方最密堆积晶胞原子个数∶八面体空隙数∶四面体空隙数＝2∶2∶4（图8），【详见《7分钟视频——六方最密堆积的八面体与四面体空隙》】
图1  八面体空隙
图2  八面体空隙大小
图3  四面体空隙

 

图4  四面体空隙大小

二、体心立方晶胞的变形八面体与变形的四面体空隙

体心立方堆积没有正多面体空隙，但有多种变形的多面体空隙，这里介绍变形的八面体空隙与变形的四面体空隙。
变形的八面体空隙（图5）：其中心位置位于晶胞每个面的中心与每条边的中心，是一个压扁的八面体，在垂直轴上从中心到顶点的距离为a/2（a为晶胞参数），比水平方向的距离√2a/2要短。空隙最短处能容纳最大外来原子半径为rB和堆积原子的半径rA的rB/rA比值为0.154。
变形的四面体空隙（图6）：每个面上都有4个四面体的中心，如图，这种空隙的rB/rA比值为0.291。
体心立方堆积晶胞原子个数∶八面体空隙数∶四面体空隙数＝2∶6∶12（图9）【详见《体心立方晶胞的八面体、四面体及三方双锥形共42个空隙》】。
图5  变形八面体空隙
图6  变形四面体空隙

三、晶体结构中的空隙小结

1、各类堆积空隙大小示意图
（图7～9原图源自麦松威、周公度、李伟基《高等无机结构化学》一书）
图7
图8
图9
2、各类堆积空隙小结
图10
 
视频中的三维虚拟模型是氢剑采用互动式三维虚拟技术制作的。在相关插件支持下，用鼠标即可对结构模型进行平移、滚动、旋转、缩放、变形、增添或删除原子及触动预先设置的动画等操作。
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