初中数学：最值系列之将军饮马、将军遛马、将军过河
作者： 刘 岳
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB
当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）
作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP''，当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小。
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【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为________．
【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P'、P''，化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M．
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ'，当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。
“一定两动”之点到线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P'，将折线段PM+MN转化为P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置
【关于对角线对称】
如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是________．
【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值．点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小．
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【假装不存在的正方形】
（2019山东聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（5/2，5/2）
C．（8/3，8/3） D．（3，3）
【分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P所在直线OA的对称：
也可以作点C的对称：
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【隐身的正方形】
（2017辽宁营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时，PC+PD最小，最小值为5，故选B．
【等边系列】
如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．
【分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值．
过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7．
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【隐身的等边三角形】
如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是________．
【分析】对称点并不一定总是在已知图形上．
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【角分线系列之点到点】
（2018山东潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠ACB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为________．
【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C'在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C'E+EF，当C'、E、F共线时得最小值，C'E为CB的一半．
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【角分线系列之点到线】
（2018辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是________．
【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN'．
因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值．
【菱形高】
（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC为6倍根号2，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是____________．
【分析】此处P为折点，作点M关于AC的对称点M'，恰好在AD上，化折线EP+PM为EP+PM'．
当E、P、M'共线时，EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：AC·BD=BC·EM'.
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【折点在边上】
（2017山东菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是__________．
【分析】点E为折点，E是y轴上一点，作点D关于y轴的对称点D'，连接AD，与y轴交点即为所求E点．
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【面积与折点】
（2019西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足△APB的面积是矩形ABCD面积的三分之一，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为_________．
【分析】由△APB面积是矩形面积三分之一，可作出P点轨迹为直线MN（AM=BN=2），作点B关于MN的对称点B'，化折线PA+PB为PA+PB'．
当A、P、B'共线时，取到最小值．
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【全等与对称】
（2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为________．
【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF最小值，此处E为折点，作F关于AB对称点F'，则BF'=BF=DH=CM，∴MF'=BC=5，MH=DC=10，∴HF'为5倍根号5，周长最小值为10倍根号5．
（2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP为根号3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是_________．
【分析】此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对称点P'、P''，化△PMN周长为P'N+NM+MP''．
当P'、N、M、P''共线时，得最小值，利用60°角翻倍得∠P'OP''=120°，OP'=OP''=OP，可得最小值．
（2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_________．
【分析】此处点P为折点，作点M关于OA的对称对称点M'如图所示，连接PM'，化PM+PN为PM'+PN．
当M'、P、N共线时，得最小值，又∠M'ON=60°且ON=2OM'，可得∠OM'N=90°，故P点坐标可求．
如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为____________．
【分析】先考虑M为折点，作点P关于OM对称点P'，化AM+MP+PN为AM+MP'+P'N
此处P'为折点，作点N关于OP'对称点N'，化AM+MP'+P'N为AM+MP'+P'N'
当A、M、P'、N'共线且AN'⊥ON'时，值最小．
已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
【分析】考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A'位置．
问题化为求A'N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
将军过双桥
已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
【分析】考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．
去除定量，组合变量
【问题介绍】
如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【模型简化】
已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？
【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．
构造点A关于MN的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M位置，可得路线．
一个例子
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为________．
【分析】考虑PQ、AE为定值，故只要AP+QE最小即可，如图，将AP平移至A'Q，考虑A'Q+QE最小值．
作点A'关于x轴的对称点A''，连接A''E，与x轴交点即为Q点，左移2个单位即得P点．
挖掘定量
如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值．
【分析】此题难点在于要得到AF与CE之间的关系，方能将这两条线段联系到一起．过点E作EH⊥CD交CD于H点，由相似可得：FH=1．
连接BH，则BH=CE
问题转化为BH+AF最小值．
参考将军遛马的作法，作出图形，得出AF+BH=A'H+B'H=A'B'=5．
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