学生在解题时，到底要训练什么——以四年级学生解一道思考题为例
您好！我是朱军，来自杭州崇文实验学校，朱乐平名师工作站第18组成员，很高兴在“一课研究”微信平台与您相遇！
2
听一听：问题解决的教学目标是什么
读一读：学生在解题时，到底要训练什么——以四年级学生解一道思考题为例
试一试：做一道题
3
轻轻松松听听书
——摘自《数学学习的心理基础与过程》（鲍建生、周超 著）
坚持阅读八分钟
数学学习离不开做题，波利亚说过：“掌握数学意味着什么呢？就是善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有创造发明的题。”（波利亚，1982）。从“了解”（知识）到“掌握“（知识）的过程中，学生需要有质量地完成一些习题。
学生在解题时，到底应该训练哪些能力呢？从解决问题的认知过程看，主要训练的是以下三种能力：对问题的理解及识别、对策略的选择与应用、对过程的监控与评价。
下面，笔者以一道四年级的数学思考题为例，具体加以说明。
测试题目：
请你从1、2、3、4、5、6、7、8中选三个不同的数字，组成一个能被3整除的三位数。想一想，有几种可能？把你思考过程写下来。
（注：若选择了“1、2、3”这三个数，那么由这三个数字所组成的任意三位数都只算一种可能。）
测试背景：
被测的162名四年级学生使用的是《浙教版》教材，3月4日学习了“能被3整除的数的特征”，6月中旬进行了测试。测试时间为20分钟，教师不解读、不指导。
我们先来看看总体的情况：
从上表中，我们看到学生的水平差异较大。面对一道从未遇到过的问题，学生没有任何“套路”可用，只能凭着自己对题目的理解，去选择合适的策略，在解题过程中不断反思、调节，尽可能多地写出答案。
1、对题目的理解与识别
学生拿到一道题，首先要认真审题，带着思考来读题目，划出关键的字、句，明确题目的要求。这是比较基本的要求，但一线的老师们都知道，有部分学生不会审题，扫了一眼题目，有时只看到几个词就开始做题……
这位同学完成了一个关于“能被3整除的数”的思维导图，举了正例，也举了反例，把特征表达得准确又清晰。这个学生对该知识点的掌握得不错。但他显然没有读懂题目。
这位同学写了七种答案，说明部分理解了题目的要求。但他花了很多时间去解释了为什么能被3整除的数有这样的特征，理解到位，表达也清楚。但这样的解释并不能帮他写出所有的答案。
这位同学是理解题意的，她明知道“1、2、3”所组成的数都只算一种情况，但还是不放心似的，把一组里六个不同的三位数都写出来，在写这些数上花了不少时间。
2、对策略的选择与应用
审题，对学生选择策略有很大的影响。
这位同学非常明确题目的意思，她识别出题目中的三个要素：1、能被3整除的数的特征；2、要写出所有答案，需要从小到大想（这就是关键策略）；3、在一种情况里，数的顺序可调换。由于策略得当，她写的数几乎没有涂改、一气呵成，思维流畅。
这位同学选择写加法算式，先从1+2+3开始，逐一罗列并加以判断。她其实是知道3的倍数的特征的，但并没有进一步思考：“1+2+3”能被3整除，那么“1+2+4”只增加了1，一定不能被3整除，可排除。同时，她没有继续考虑“1+3”、“1+4”等情况，答案不够周全。
这位同学的策略与上一位同学的相近，按从小到大的顺序一一罗列，最终找到了所有的答案。他做完后，有点不好意思：“我用了最麻烦的方法。”我对他说：“你做得很棒！”当然，方法策略的选择有提升的空间，但他能把答案写全，也真不容易呀！
这位同学一开始也是从小到大写了一些答案，但他并没有罗列出所有答案，而是选择了“找规律”的策略，由于第一列漏了一个答案（1、6、8），他正好“发现”了“规律”：可以用6+5+4+3+2+1算出最终答案。显然，策略与结论都是错误的。
这位同学先考虑三个数的和，写出6、9、12等3的倍数，然后再分别写出那几个数相加等于这些和。但她与上一位同学一样，写了三行后，突然想到：会不会形成有特殊规律的数列呢？错误的策略、方法导致错误的结论。
这个学生打破了常规思路，不去枚举出所有可能，而把“1—8”分成三类（除以3余1、余2、没有余数），由于余数1加余数2等于3，一定能被3整数，因此可用“组合”方法来解决这个问题，3×3×2=18，再加上1、4、7与2、5、8这两种，一共有20种答案。
写出15—20种答案的68名同学分别采用了什么策略呢？
看来，确定首个数（如：123、125……）是大多数同学喜欢的策略。有6位同学能用到组合的方法（3×3×2+2），超过预期（上一次研究中，只有两位五年级学生出现这种方法）。其它的方法指的是，先算出从“1—8”选三个数的所有可能，再减去三个数相加不是3的倍数的可能，这里不展开。
3、对过程的监控与调节
解决问题能力强的学生，具有较强的自我监控与调节能力。有人习惯在解决过程中随时监控，每完成一个步骤都会稍作停留；有人会在结束后复盘整个过程，并做出评价与调节；有人兼而有之。大多数学生都知道检查的重要性，但实际上，不少同学写完答案就松了一口气，无心检查。
这位同学一开始选择了从1开始思考的策略，但写完所有1开头的7个答案后，思维跳跃了，她想到连续的自然数的和能被3整除，相邻两个数的差是2、3也都可以被3整除。我们看到她用箭头把重复的数连起来，最后还能补上漏掉的数，说明她的监控能力强，随时做出调整。不过，这样的策略容易遗漏，最后还少一个答案，她就很难查出来。
这位同学的思路条理清晰，他在最后还做了检查，给自己打了“√”。这也是具有一定监控能力的体现，虽然漏了一个答案。
这位同学运用了多种策略，先考虑和，最大的和是6、最小的和是21；然后列表格，分别写出相应和的加法算式，思考非常有序。还特别注明：（第一个加数）从“1”开始，到“6”结束。最后写出算式和答。我们可以看出，她的监控贯穿在整个思考过程中。
结束的话
七年前，我把这道题给当时的四、五、六年级的部分学生做过，写了一篇学生思维水平层次分析的文章，现在看来并不满意。有机会重新教四年级时，我给所有的学生都做了这一道题，但注意力不再放在水平分层上。学生的策略与答案五花八门，即便是错误的答案，我也看到了价值，颇感有趣。
借着这道题，我们一起思考：学生在做题时，到底要训练什么？主要是三点：审清题意、选择策略、监控过程。即便有同学对某个知识点（如：能被3整除的数的特征）掌握得很好，没有对题目的理解与识别，也会无从解答或答非所问。审题一定会对学生选择策略产生影响，学生选择的策略也许不同，有时选择了不错的策略也会出错。这就需要对自己的思考进行监控，及时检查评价，并做出调节。如果学生在做题时，都能有意识地训练这三种能力，一定能提升数学学习水平。
5
试一试
问题：0—9这十个数字，可以组成多少个能被3整除的数（3的倍数）？
恭祝大家牛年快乐！平安喜乐每一天！
图 by 银洛
你若盛开 蝴蝶自来
审核人：孙旻晗 戚国琴