探究视频帧速率和实际频率对视频中周期性运动的视觉频率的影响
1 引言
让一个蹄形磁铁靠近白炽灯，观察灯丝，可以看到什么现象？这是什么原因造成的？
安徽池州一中学生王艺博的视频
安徽池州一中学生王艺博对这一问题进行了探究。从他录制的视频中，人们可以明显地看到，通有交流电的灯丝在磁场中不停的振动，人们也很容易能联想到，是灯丝中周期性变化的电流受到了周期性的安培力作用而导致的，灯丝振动的频率应该与灯丝中的交流电的频率保持一致。
慢镜头下磁场中灯丝的跳动
但是，细心的人们会发现，从视频中观察到的灯丝的振动频率好像比实际情况慢，这是为什么呢？
对于这一问题，河北物理名师邢飞指出：这种现象产生的原因是摄像机存在特定的取帧频率导致的，即在每个特定时间摄取画面，导致相对实际过程，出现了大量的丢帧现象。
考虑到王艺博同学用手机拍摄实验时的视频帧速率为60Hz，邢飞老师做了一个数值模拟来说明，用一个正弦函数来表征灯丝振动，再按照特定的时间间隔来抓取振动数据，进行分析研究，并利用视频播放软件potplayer进行取关键帧分析，发现慢镜头中灯丝的振动为10Hz，理论分析与实际测量吻合得很好。
笔者看后，一时技痒，就试着探究了一下视频帧速率对视频中周期性运动的视觉影响，得到一些规律性的东西。
2 理论分析
为了便于分析，不妨设视频的帧速率为f0 ，灯丝振动的频率为f，灯丝的振动方程为x=Asin(2πft），则灯丝的振动可视为半径 r=A、角速度ω=2πf的匀速圆周运动的一个分运动。
为了使分析过程形象直观，现以匀速圆周运动为例进行分析。
如上图所示，若设小球匀速圆周运动的方向为逆时针方向，由于视频的帧速率为f0，则视频中任意相邻的两帧之间的时间间隔为1/f0，这段时间内物体做匀速圆周运动转过的角度为
考虑到在这段时间内，匀速圆周运动的物体转过的角度可能超过2π ，可设物体转过的角度为
在上式中，k为自然数，φ大于或等于0，小于2π。
当φ介于0和π之间时，观察者从视频中识别出的物体转动的方向与实际转动方向是一致的，而且观察者识别出的物体转过的角度为ψ=φ，利用取整函数可以得到ψ的表达式为
其中trunc为取整函数。
由上式可得，由于视频的帧速率为f0，则观察者从慢镜头中测得的物体做匀速圆周运动的频率为
当φ介于π和2π之间时，观察者从视频中识别出的物体转动的方向与实际转动方向是相反的，而且观察者识别出的物体转过的角度为ψ=2π-φ。
如上图所示，按照上述方法，可得观察者从视频中测得的物体做匀速圆周运动的频率为
由于简谐运动可以视为匀速圆周运动的一个分运动，上述分析适用于简谐运动，当然也适用于所有的周期性运动。
3 结论
综合以上两种因素，经过化简，可得视频中周期性运动的视觉频率、真实频率和帧速率三者之间的函数关系式为
就安徽池州一中学生王艺博开展的实验探究活动而言，将f0=60Hz和f=50Hz代入上式，可得观察者在视频中测得的频率为10Hz。
理论分析结果与实际测量相符。
4 推论
4.1 若周期性运动的频率为视频帧速率的整数倍，则振动物体在视频中任意相邻两帧中的位置重合，观察者在视频中测量到的周期性运动的频率为零，周期性运动的物体在视频中处于静止状态。
4.2 若周期性运动的频率小于视频帧速率的一半，则观察者在视频中测得的周期性运动物体的频率与实际频率相等。
温馨提示
如果想让视频忠实地记录和还原周期性运动，请把摄像机的帧速率调节至待拍摄的周期性运动的频率的2倍以上。否则，视频中记录的周期性运动频率将与实际频率不等。
由于灯丝的振动频率为50Hz，智能手机的正常帧速率为30Hz，如果要让视频能忠实地记录灯丝的振动，需要使用4倍、8倍或者16倍慢镜头，因为它们对应的帧速率分别是120Hz、240Hz或480Hz。
写作手记
昨日清晨（2021年3月5日），读到“跳跃的灯丝秘密多”这篇推文，看到视频中灯丝的振动频率为10Hz，实际频率为50赫兹，而帧速率为60Hz，微主当时就想，如果视频的帧速率是50Hz，视频中的灯丝将会纹丝不动。
因为微主联想起了电影/电视中汽车轮子的倒转现象，当汽车从静止加速启动时，汽车轮子一直在加速旋转，但是视频中的汽车轮子却是先正转，再静止，再倒转，再静止，再正转，周而复始。
微主在想，灯丝振动可视为简谐运动，可视为匀速圆周运动的一个分运动，而汽车轮子的转动也是圆周运动，视频中汽车轮子的转动与实际转动不一致，其原理可以迁移到视频中灯丝振动与实际振动不一致上来。
于是，此文诞生。
其实，这就应验了美籍匈牙利数学教育家G·波利亚有过一个著名的比喻：好问题同某种蘑菇有些相像，它们都是成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围再找一找，很可能附近就有好几个。
在一个源于生活的创新型问题的周围，一定有着一连串有价值的问题，通过研究这些问题，可以让人们从生活走向物理，从物理走向世界。
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