2020巴尔干数学奥林匹克预选题 几何组 中文翻译

1.锐角中, 为中点, 为外接圆. 过作切线与直线交于点. 设为外心. 求证: 线段中点在上.

2.钝角中, 为钝角, 分别为重心, 垂心. 以为直径的圆与其外接圆再次相交于点. 过作切线与再次相交于点. 已知, 求证: .

3.以的三边, , 为边长, 分别向外构造三个正方形, 其中心分别为, , 已知点在的外接圆上, 求证:的圆心在的边上.

4.等腰梯形内接于以为圆心的圆, 且为的直径, 为中点. 过作 的垂线, 并在上取点. 直线与交于点, 且.直线与交于点, 且 为在上的对径点. 直线交于点.过作的切线,分别与交于点.
求证: .

5.等腰中, , 且. 其外接圆圆心为, 边中点为. 过作于. 以为圆心, 为半径作圆, 与线段交于点, 与交于点, 其中在劣弧上, 在劣弧上.
证明: , , 共线.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。