初中数学:正方形中十字架模型

01

弦图的应用

在勾股定理的证明中,我们学习过赵爽弦图,如下,有△AED≌△BFA≌△CGB≌DHC.
稍作变形,若DE⊥AF,则可得:△DAE≌△ABF.(证明思路类似三垂直模型)
一般地,在正方形ABCD中,若MN⊥PQ,则必有MN=PQ.
法一:分别将PQ、MN平移至AF、DE位置(作平行线)证明AF=DE即可.
法二:过点P作PE⊥BC,过点N作NF⊥AB交AB于点F,易证△PEQ≌△NFM.
反之,若已知PQ=MN,但不一定存在PQ⊥MN.
如下:EF=PQ=MN,但EF不与MN垂直.
由位置关系可推数量关系,
但由数量关系未必可推位置关系.
除此之外,还有一些常用的性质和结论:

1、弦图与对称

考虑对称点连线被对称轴垂直且平分.
将正方形ABCD沿MN折叠,则AA'MN且AA'⊥MN.

2、弦图与辅助圆

如图,垂足H轨迹是个圆弧(定边对直角).

以AD中点M为圆心,MA为半径的圆,两端分别的点A及对角线交点O.

3、弦图与四点共圆

如图,C、D、H、F四点共圆.
∵∠DCF=∠DHF=90°,∴C、D、H、F四点共圆.
连接DF,取DF中点N,以点N为圆心,DN为半径作圆.
特别地,若E、F分别是AB、BC中点,连接CH,则CH=CD.
证明:∵∠CHD=∠CFD=∠AED=∠CDE,∴CH=CD.

4、矩形中的弦图构造

在矩形ABCD中,E、F分别是AB、BC上的点,且AF⊥DE,则AF/DE=AB/AD.
证明:易证△ABF∽△DAE,∴AF/DE=AB/AD.

02

真题练习

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2018 聊城中考

2018 上海中考

2018 长春中考

2019 广西中考

2018 杭州中考

2019 襄阳中考

文章选自:有一点数学、作者:刘岳; .更多优质资源可关注公众号后查看历史消息,妙解之慧由陕西西安孙冰钰老师创建专注分享初,高中数学优质资源,旨在服务于全国师生,让更多朋友受益。平台所选文章贵在分享,公益传播,尊重原创文章,公众号前会注明作者姓名,来源,如不当,请文末添加微信联系处理,如有侵权,请联系删除

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