压轴题打卡105：相似有关的二次函数综合问题

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．

（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；

（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm²），试探究y的最大值；

（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．

参考答案：

考点分析：

相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质．

题干分析：

（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，

（2）作PG⊥x轴，将四边形的面积表示为S_△ABC﹣S_△BPE﹣S_△QCE即可求解，

（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论．

相似作为中考数学几何当中最重要的知识点之一，一直是综合题型、压轴题等重点考查的热门考点。很多压轴题的解题关键就在于考生是否能在题目当中找到相似三角形，通过相似建立起等量关系，从而得到函数关系式，问题最终得到解决。

什么是相似三角形？

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

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