椭圆焦点三角形,这肯定是最全的解释。

因为月考赶上运动会,

继国庆之后,

感觉又放了一个小长假。

原本身体是很愿意的,

可是,

刚讲的解析几何突然被中断了,

思想上还真是有点矛盾。

因为,

想了想两天后该讲些什么,

脑中却一片空白了,

突然有了点无所适从的感觉。

所以说,

学习真的需要一个连贯性的思维,

和一个安静的环境。

不过,

今天也真的是有些时间,

想了想,

还是写点什么吧,

就来个椭圆的焦点三角形。

因为很多时候,

圆锥曲线的考题,

都会与焦点有或多或少的联系。

而焦点三角形,

也确实是圆锥曲线中,

一个最为特殊的存在了。

01

什么是焦点三角形

椭圆上任意一点(非长轴端点)与两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

02

焦点三角形周长

因为顶点P总在椭圆上,

所以它一定是满足椭圆定义的。

这样的焦点三角形,

其周长就一定是定值。

03

焦点三角形顶角

显然,

和周长不同的是,

焦点三角形的顶角θ是一个变量。

但是,

它的变化也还是有一点规律可循的:

P从长轴端点向短轴端点运动的过程中,

顶角θ从0增大到它的最大值。

如图所示位置的顶角,

就是最大的了。

此时,

04

焦点三角形面积

说到面积,

当然会想到一些面积的常用公式。

在我的映象中,

平时最常用的面积公式,

其实也并没有太多了:

但作为椭圆中一个特殊的、

焦点三角形的面积,

一定还应该会有其特殊性的吧。

确实,

根据椭圆的定义及余弦定理,

可以导、得出一个非常好记的面积:

其实,

建议你也自己推导并记住它,

毕竟这个公式,

以后可能会经常与它见面的。

其实,

在我的解题经验里,

这个面积公式,

除了可以计算焦点三角形的面积,

还可以有这样的姿态:

原来,

利用面积,

还可以求顶点的坐标呢!

是不是有点太神奇!

05

焦点三角形内心

说到三角形,

当然免不了谈到它的几个心了。

而焦点三角形中,

我觉得还是内心

才是最为较特殊的。

至于特殊在哪,

你可以先看看下面的结论:

原来,

内心与离心率是有直接关系的。

当然,

如果在焦点三角形中用正弦定理,

也是可以得到离心率的:

所以说,

椭圆的离心率,

除了在基本三角形中有它的几何意义,

能够影响椭圆的扁圆程度,

在焦点三角形中,

也是有它自己的位置的。

最重要的是,

如果已知了焦点三角形的大小,

是可以秒求离心率的。

知道么?

椭圆焦点三角形内心的轨迹,

其实依然是一个椭圆,

只是比原来的,

稍微小了点。

如果你愿意计算,

你还会得到两个椭圆离心率之间的关系:

如果你再耐心点,

会不会发现在我的证明过程中,

求点M坐标时,

并没有用到最好的焦半径公式,

而是用到了切线方程?

其实这个道理,

源于课本中,

对椭圆光学性质的解释。

06

椭圆光学性质

还记不记得教材中,

椭圆的这一组光学性质了呢?

它的意思其实也简单,

就是说:

从椭圆焦点发出的光线,

被椭圆反射后,

反射光线一定是要经过另一个焦点的。

嗯,

就像是动图中那样,

可以一直反射下去,

无止尽的。

反射过程中,

我想到了物理中的光学性质。

对于入射光线与反射光线,

是总有入射角等于反射角的。

于是,

这里便出现了,

角平分线的问题了。

所以说,

联想很重要!

从图中很容易就看出,

焦点三角形的顶角平分线,

其实就是法线了。

而法线,

很显然的,

应该与点P处的切线互相垂直吧!

我就是这样,

求得了顶角平分线方程的。

其实,

与三角形内心相对的,

焦点三角形还有三个外心。

而这三个外心的轨迹,

也是非常有意思的。

之所以说有意思,

主要还是因为,

这组结论,

也太漂亮了点吧!

看见了么?

两条焦半径所对的外心I1和I2

轨迹方程正好是x=±a,

而底边所对的外心I3的轨迹,

却是一个你意料之外的椭圆!

那么你有勇气,

亲自操刀,

证明一下么?

07

焦点三角形重心

我想更让你惊讶的是,

焦点三角形重心的轨迹,

竟然依然是个椭圆!

其实,

也只是你没有想到而已,

因为,

这个结论的证明,

其实真的是再简单不过了,

我只用了一个重心的坐标公式,

就轻易搞定了它。

08

焦点三角形外心

说到外心,

当然也是要想到其轨迹了。

可惜这个没有给你惊喜,

因为外心一定是在y轴上的吧?

那还多想什么呢!

至于外接圆的半径,

一般自然就想到了正弦定理了。

所以外接圆的半径:

而前面说的内切圆,
很容易的就可以由周长与面积关系:

关于椭圆的焦点三角形,

今天的讲解,

应该是你见过的,

最为全面的了。

其实,

双曲线的焦点三角形,

它的相关性质,

和椭圆其实基本是一个类型的。

也希望有心的同学,

能够试着用类比的方式,

去进行一些研究。

END

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