趣味探究：神奇的“埃及分数”（适合4-6年级）

【题记】
沉浸式的具身学习就是身心一体，注重学习过程中的体验和实践，把实践型学习者的亲身体验及其知识能力的生成当作一个动态、自然的教育过程。
如果我们要消除见到困难就躲的本能，不再有意无意地在我们、同事、校方、家长之间自设藩篱，我们就得无所畏惧。——英特拉托
【配合教材】
本教学游戏配合“分数加法和减法”。通过本游戏能够帮助学生巩固所学知识，激发学生数学学习的兴趣，让学生学会举一反三，培养学生思维的灵活性和开放性，增强学生数学学习的信心，拓展学生数学学习的视野。
【基本玩法】
我们只听说过“分数”，有谁听说过“埃及分数”吗？
原来，四五千年前的古埃及人，他们只会使用分子是“1”的分数，也就是像我们今天所说的“分数单位”。所以他们在分东西的时候，也就比较特别了。
举个例子吧。
我们现在把2个物品要平均分给3个人的时候，每个人可以取得2个

。你可以算成

=

+

。

那么，古埃及的人们，是怎么算的呢？
首先，把 2 个物品分成 4 个 ，先给每个人 1 个

，剩下的 1 个

再分成 3 等分，均分结果，每人分到

加

的

，也就是

+

=

。

这份至今保存在大英博物馆的“莱登”草纸，用很大的篇幅记载着将真分数分解成单分子分数，这种运算方式，遭到现代数学家们纷纷责难，认为埃及人之所以未能把算术和代数发展到较高水平，其分数运算之繁杂也是原因之一。
还有，当9个面包要平均分给 10个人的时候，古埃及人不知道每个人可以取得 9/10，而是说每人1/3+1/4+1/5+1/12+1/30。真叫人难以想象，你连9/10都搞不清楚，怎么知道9/10=1/3+1/4+1/5+1/12+1/30。所以几千年来，数学史家一直坚持认为，古埃及人不会使用分数。
1.请同学们想一想：
你能很快填出来吗？
2.说一个古老的传说吧。
一个老人弥留之际，将家中11匹马分给3个儿子，老大1/2，老二1/4，老三1/6。二分之一是5匹半马，总不能把马杀了吧，那么该怎样分呢？
【指点迷津】
对于问题一，我们是这样想的：
进一步地，我们可以发现一些规律：一个加数的分母比要拆分的分母大1，另一个加数的分母是它们的乘积。
这个规律如果用字母公式表示是这样的：
对于问题二，是邻居把自己家的马牵来，老大二分之一，牵走了6匹；老二四分之一，牵走了3匹；老三六分之一，牵走了2匹。一共11匹，分完后，邻居把自己的马牵了回去。即11/12=1/2+1/4+1/6。
奇妙的埃及分数，终于调动自己的潜在难度击败了敢于轻视他们的人们，并且给与嘲笑他的人以难堪的回答。
【聪明进阶】
3.请同学们再想一想，下面的分数该如何拆分呢？
进一步地，你也能总结出一个公式来吗？
【指点迷津】
对于上面的聪明进阶中的题目，我们通过努力可以知道：
这样的题目最终总结出公式是：
意思是：一个几分之二的分数可以拆分为两个分母是1的分数，其中第一个分数的分母是原来的分母加1再除以2，第二个分母是原分母与第一个加数中分母的乘积。
【重要提示】
两千多年后的数学家终于发现：
此时才大梦初醒。埃及分数以旺盛的生命力屹立在世界数坛，使三千年后的数学家也自叹弗如。
再如上面的“分马问题”，能否设计出（n-1)/n=1/x+1/y+1/z 。
经过2000多年的努力，终于揭开其中的奥秘：有6种可能，共7种分法：
7/8=1/2+1/4+1/8；11/12=1/2+1/4+1/6=1/2+1/3+1/12；
17/18=1/2+1/3+1/9；19/20=1/2+1/4+1/5；
23/24=1/2+1/3+1/8；41/42=1/2+1/3+1/7。
原先人们以为，这样的情况大概有无穷多个，可是，继续追击却一无所获，真是难以预料。黑龙江的关春河发现共有43种情况。这是正确的。
此外还有更奇妙的呢！
比如，当限定分母为奇数时，把“1”分解为埃及分数，项数限定为9项，共有5组解：
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/315。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/33+1/45+1/385。
以上5组解是在1976年才找到。
如果限定为11项时，发现了只有1组解最小分母是105。若大于105则有很多的解。
本世纪一些最伟大的数学家也研究埃及分数，例如，沃尔夫数学奖得主，保罗-欧德斯，他提出了著名的猜想 4/n=1/x+1/y+1/z，难倒了世界上第一流的数学家。
下面是其中的几个解答：
4/17=1/6+1 /15+1/510；
4/41=1/（12×1）+1/（12×6）+1/（12×1×6×41）=1/12+1/72+1/2952；
4/41=1/（6×3）+1/（6×4）+1/（6×3×4×41）=1/18+1/24+1/2952
……
更多有趣的埃及分数问题，等着同学们去探索呢。
【参考答案】
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