图解普林斯顿微积分(重制) 01：函数、图像和直线

[遇见数学] 基于风靡美国《普林斯顿微积分读本》一书所编码制作的这个图解系列, 提供了更多的图像和动画来让读者体会微积分的无穷魅力. 强烈建议配合原书来观看. 还请各位老师和读者多多指导, 方便我进一步改进.

这里也衷心感谢 @Mr.C 同学协助转成将此系列原文档中公式转成 LaTeX 格式. 
提示: 如果文中数字/公式显示较大, 请点击右上角中"刷新"即可恢复正常

▌第一章 函数、图像和直线

▌1.1 函数

△ 定义
函数(Function)是将一个对象转化为另一个对象的对应规则. 起始对象称为输入, 来自称为定义域(Domain)的集合. 返回对象称为输出, 来自称为上域(Codomain)的集合.

一般来讲是以符号

来代表一个函数. 一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出.

值域实际上是上域的一个子集. 上域是可能输出的集合, 而值域则是实际输出的集合. 如

, 其定义域和上域均为

, 那么其值域是大于等于

数的集合, 观察下面的动图:

▶ 1.1.1 区间表示法
区间是某个范围的数的集合. 区间表示法是表示一个变数在某个区间内的方式. 通用的区间表示法中，圆括号表示排除，方括号表示包括.

▶  1.1.4 垂线检验(Vertical Line Test)
如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像, 你就看看是否任何的垂线和图像相交多于一次. 如果多余一次, 则不是函数的图像.

▌ 1.2 反函数

△ 定义
反函数为对一给定函数做逆运算的函数. 也就是从输出

出发, 这个新的函数发现一个且仅有一个输入

满足

. 这个新的函数称为

的反函数, 并写作

.

图自维基

▶ 1.2.1 水平线检验
如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次, 那么这个函数就有一个反函数.

▶ 1.2.3 限制定义域

如果水平线检验失败因而没有反函数, 可以限制函数的定义域, 使之满足水平线检验. 比如将

的定义域缩减为

, 就满足水平线检验, 也有了反函数.

▌1.3 函数的复合
复合函数(Function composition)指一个将第一个函数作用于参数, 然后再将第二个函数作用于所得结果的函数.

是

与

的复合函数写成

.

复合函数另一个简单但重要的例子是, 将函数

和

(

是常数) 进行复合. 对复合得到的新函数

, 需要关注的是新函数

和函数

的图像是一样的, 只不过

的函数图像向右平移了

个单位.

类似地,

的图像是将

的图像向左平移

个单位, 可把

理解为

▌1.4 奇函数和偶函数
一些函数具有对称性, 偶函数的图像关于

轴具有镜面对称性, 即对所有的

,

都有

. 而奇函数是关于原点对称, 即

都有

, 奇函数的图像其图在绕原点做180度旋转后不会改变.

偶函数的例子有

、

、

、

; 奇函数的例子有

、

、

.

▌1.5 线性函数的图像
形如

的函数叫作线性函数(Linear function). 图像为一条直线, 斜率为

,

是

-截距 .

斜率

为正数, 那么你正在上山.

越大, 这段上坡就越陡. 相反, 如果

为负数, 那么你正在下山.

的数值越小(即绝对值越大), 这段下坡也就越陡. 如果斜率为

, 这直线就是水平的. 而改变

会将直线向上或下平移.

△ 直线方程的点斜式: 
如果已知直线通过点

, 斜率为

, 则它的方程为

▌1.6 常见函数及其图像
以下是一些常见的函数和图形.

(1) 多项式
多项式(Polynomial function)是非常重要的基础概念, 是由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式.

一般的多项式的图像是很难画的. 不过, 多项式的图像左右两端的走势倒是容易判断. 这是由最高次数的项的系数决定的

, 该系数叫作首项系数.

(2) 有理函数
形如

, 其中

和

为多项式的函数, 叫作有理函数(Rational function). 一个简单的例子是

, 其中

为正整数, 观察下面奇次幂和偶次幂的图像:

(3) 指数函数和对数函数

请查看【自然常数E的故事】和【延长了天文学家寿命的对数函数】(完)