杨振宁先生数理工作漫谈：单位圆定理及其他
作者：林开亮，西北农林科技大学理学院。
本文是2021年10月17日林老师在第十届全国数学文化论坛学术会议上所作的报告，感谢林老师授权和乐数学转发报告的演示文稿。
《杨振宁论文选集》
文章千古事, 得失寸心知
杨振宁1969年致M.Kac的一封信：
❝
随后，基于耦合强度改变时没有重根这一点，我们做了一种物理学家式的“证明”。我们很快就认识到，这种做法是不正确的，至少在六个星期的时间里，我们都在为试图证明这个猜想的徒劳无功而感到沮丧。……我记得在 12 月初，您把所有耦合强度都相同这种特殊情形下的证明告知我们。这个证明正是您现在所写的与Pólya的工作相关的那部分。您的证明很巧妙，但是我们不满足于这种特殊情形下的结果，一心想要解决一般情形下的问题。
尔后，12 月 20 日左右的一个晚上，我在家里工作,忽然领悟到，如果使, , 成为独立变量并研究它们相对于单位圆周的运动，就可以利用归纳法、通过类似于您所用的那种推理得到完整的证明。一旦有了这个想法，只消几分钟就可以把论证的所有细节写出来。……
这一切我都记得很清楚，因为我对这个猜想及其证明感到很得意。虽然说这算不上什么伟大的贡献，但是我满心欢喜地视之为一颗珍珠。
❞
Kac
李政道与杨振宁
Kac 证明的特例
杨振宁的顿悟
杨振宁和李政道“状态方程和相变的统计理论：I. 凝聚理论”
解决这个问题时，允许逸度取复数值。虽然只有实的逸度值才有物理意义，但是只有进入复平面才能完全揭示出热力学函数的解析行为，从而找到凝聚态气态和相变区域的一种描述。
杨武之的数学启蒙
我有个很有名的定理，叫做“单位圆定理”。单位圆定理是说，在物理中很有用的一类多项式，它们的根都在单位圆周上。我之所以会想到考虑多项式的根，是因为在我很小的时候，我父亲（杨武之，清华大学数学教授）就教给我两个漂亮的定理，其中之一是代数基本定理，它说每个非常数的多项式有复数根。（另一个是正17边形可以尺规作图，恰好与对称有关。
季理真访谈，《杨振宁眼中的科学和科学家》
Ruelle
❝
The Lee-Yang theorem remains a gem that I like to revisit from time to time (see for instance [152] in my publications http://www.ihes.fr/ ruelle/Publications.html), but I don’t know any useful new result connecting it with the Weil conjectures.
❞
❝杨振平的回忆：
1951 年圣诞节, 我去普林斯顿大哥家度假, 他那时刚刚证明了单位圆定理. 我大学尚未毕业, 数学和物理的基础都不是很强, 他兴致极高地跟我讲单位圆定理. 虽然我完全不明白他说什么, 可是他当时的极端兴奋给我留下了不可磨灭的印象.
他说他在这个问题上苦思良久没有结果, 曾经去请教高等研究所著名数学家 Von Neumann 教授. Von Neumann 亦不知如何措手. 六个星期以后, 他终于解决了困难, 得到了全部证明. 他当时还说, “这恐怕将是我一生中能证明的最美的定理.”多年以后, 我提起他的这句话, 他已经完全不记得了, 可能是因为他做了更重要更美的工作.❞
杨振宁、杨振平与邓稼先
杨振宁因为他在统计力学中的各项突出贡献而获得 1999 年美国物理学会颁发的 Onsager 奖, 颁奖词如下:
❝
他在统计力学和量子流体理论方面基本而重要的贡献, 这包括单位圆定理, 在非对角长程序和磁通量量子化方面的精心杰作, Bose-Einstein 凝聚理论, 以及一维和二维统计力学模型热力学特性的精确计算.
❞
一生中最漫长的计算:
❝
1951 年初, 我开始深入研究 Ising 模型的问题。……沿着这个方向，1951 年正月，我得到结论：利用隐藏在 Onsager 方法中的其他信息，我可以计算出自发磁化。于是我着手做了一个冗长的计算，这是我的物理学生涯中最长的一个计算。它曲曲折折，处处都要用到一些技巧，一路上碰到数不清的障碍。然而，过不了几天，总会发现一些新诀窍，指明新的路子。我很快就感到自己处在一个迷阵里，搞不清楚经过这许多峰回路转之后，究竟是否比出发时更接近原定的目标。这种感觉是非常令人沮丧的，好几次我差不多要放手不干了。但是每次总有些什么东西把我拉回来，通常是一个新的诀窍使事情豁然开朗，哪怕只是照亮了其中的一个局部。
经过大约6 个月的断断续续，所有的片段终于突然融合在一起，产生了奇迹般的各项相消的情形。我睁大眼睛盯着简单得出奇的结果，即这篇文章的 (96) 式。因为我的计算中有些极限过程不太严格，我把等式按参数 的幂级数展开，并与先前 Van der Wareden, Ashkin, Lamb 得到的展开（他们的结果精确到 ）进行比较。一直比较到 ，我才感到放心：两者完全一致。
❞
Yang–Baxter 方程
Baxter
Yang–Mills 规范场
吴大竣–杨振宁字典
吴大竣与杨振宁
真情妙语铸文章
教学引出的发现
Simons 的作用
❝
I’ll tell you a funny story about Yang. After I was there in the first year I was there, he invited me up to his office. He was very pleased that the math department was going to—that I was there and we were going to build a good math department. So, he wanted to show me what he was doing, and he covered the board for an hour. I didn’t understand a word. But I nodded in various places and said thanks and went back to my office. The next year, the same thing. And well, I went back to my office.
But the third year, he started writing on the board, and I finally realized what he was doing. He was inventing some mathematics which was already done 40 years earlier, and I said, “「Stop, stop, stop what you’re doing. That’s already done, and you’re not doing it right」.”
He said, ”I’m not doing—it’s already done?” he said, ”Well why would the mathematicians have done this?” I said, ”Well, it was natural.” And it was, it was just a natural outgrowth of where mathematics was going in an area called fiber bundles. So, it meant connections in fiber bundles and so on. So, I told him that, and then he said, ”Well, would you give us a seminar on this stuff?” So, I said sure. It was about six sessions over lunch. It was his organization, senior physicists, so it was the best class I ever had. It was the smartest guys I ever had in a class.