2021德国数学奥林匹克 中文翻译

第一天

1.求所有实数,使得为方程 的两个互异根, 且为方程 的两个互异根.

2.凸四边形中, 分别在边上. 求证以下两个命题等价:
四边形的周长有最小值,且周长最小时, 分别在线段上.
四点共圆,且圆心在四边形内部.

译者注:这题我没完全看懂题目,附原文如下:

Let on , on , on and on be points on the sides of a convex quadrilateral . Show that the following are equivalent:

(1) There is a choice of , for which all of them are interior points of their side, such that has minimal perimeter.

(2) is a cyclic quadrilateral with circumcenter in its interior.

3.对给定的正整数, 设所有十进制下的含有数字各一个的位数组成的集合为.
求证: 可以将划分为两个互不相交的子集, 使得这两个子集中所有元素的立方和相等.

第二天

4.已知,且为同向相似,四边形为平行四边形.求证:

5.求最大的实数, 使得对任意非负实数, 都有

对第一问所求的的实数, 求所有使得等号成立的三元非负实数组

6.是否存在无穷多个三元实数组 , 使得 组成等差数列, 且 和 均为完全平方数.

译者注: 第六题应该是佩尔方程的经典题了,在 现代奥林匹克数论 这本书中就有,在第247页,例9.4.7.