黄老师聊数学（90）初中数学难题：动点 位似 旋转 最值，圆形的乾坤大挪移

来看两道很好的初中数学难题，表面上看像是关联动点的运动问题，但是其蕴含更本质的基本原理。这两道题乍看有点难，用初中的方法几乎无从入手。但是一旦点破就变得比较简单。涉及到的原理包括动点、旋转、位似、图形复制和最值求解。

题目一：这道题在“黄老师聊数学系列第34讲”讲过，E是圆上半部的一个动点，角DAE始终保持90度且AD=AE，求E点在什么位置时候，DC取到最大。当时用的是高中的方法。

题目二：最近遇到的，与题目一大同小异，联想到题目一，于是研究了一下，终于想出了用初中知识求解的方法。

下面来看相关的主要原理：

一、旋转

如下图A点，绕转动中心O逆时针旋转90度后到达A'点，有角A'OA=90度，OA=OA'，同理线段AC上的任何一点都可以逆时针旋转90度到达新的位置，那么线段AC上的所有点旋转后得到的所有点组成的线段A'C'就相当于是原来线段AC绕O点逆时针旋转90度的结果。

所以，只要诸如动点A的关联点A'的相对于A的固定位置关系（旋转、缩放）知道，那么当A点在某曲线上运动时，A'点的运动轨迹就相当于该曲线的复制。

来看具体上面两道题的关联点运动轨迹。题目一，E点的关联点D相当于是E点本身逆时针旋转90度，那么D点的轨迹就相当于E点轨迹圆的复制，把E点所在的圆整个也逆时针旋转90度。也就是每一个E点逆时针旋转90度的行为，构成了整个圆C的逆时针旋转，形成D点的圆形轨迹。

题目二中，由于三角形DBA是等腰直角三角形结构，那么A点的关联点D点始终是由A点绕B点逆时针旋转45度，且长度BD缩小为原来BA长度的根号2分之1，这样生成。同样易得D点轨迹圆C'的圆心位置在以BC为底边的等边三角形的顶点位置。

那么D点轨迹圆C'的半径等于多少呢？下面就进入第二个原理：位似。

二、位似

两个图形位似就是两个相似图形（先考虑多边形）的各个对应顶点连线的交点位于同一点（位似中心）。位似是条件更为严格的相似。如下图蓝色的正方形和红色的正方形就是位似。其相似比等于OA/OA'，也等于OD/OD'……类推。

位似好比这样，先有个正方形A'B'C'D'，然后选个位似中心，把OA',OB',OC',OD'都缩小个相同的比值（比如1/2），得到相应的四个点ABCD，那么ABCD构成了一个新的正方形，也就是新图像与原图形相似，相似比等于那个比例1/2.

下面的圆也可以按这个方法生成位似图形。这样题目二中提到的问题就清楚了。题目二中A点的关联点D除了旋转外，还要缩小一个固定的比值根号2分之1，因此D点轨迹圆C'的半径也为圆C半径的根号2分之1.

三、求极值

剩下最后一步就简单了，用几何求极值很直观，这里就不详细解释了。

最后我用极坐标方程的方法验证了题目二的D点的轨迹。如果真的要求D点轨迹，用极坐标方法，结合余弦定理比较方便。最后结果和旋转+位似的初中方法结果是一致的。

上述过程抽丝剥茧接近问题真相，洞穿问题本质，很喜欢这样的题目，很享受这样的过程！