模型 | 反比例函数11类模型梳理（优选）

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一、反比例函数的基本性质

1、反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交；

2、k的正负性，决定双曲线大致位置及y随x的变化情况；

3、双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y=x及y=-x.

4、反比例函数y=k/x中| k |的几何意义是：

| k |等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线的矩形的面积。

二、反比例函数的基本模型

模型一、对称性

结论：

∵正比例、反比例函数的图象都是关于原点成中心对称图形，

∴①OA=OB，OC=OD；

②四边形ACBD是平行四边形；

模型二：双曲矩形

结论：1、不论P在双曲线上何处，

2、当OA在x轴上平移时，

同理：当OB在y轴上平移时，

等底同高可证，证明略

模型三：双曲三角形

结论：

1、不论P在双曲线上何处，

2、不论O'在y轴上何处，

同底等高可证，证明略

模型四：等分面积

结论：

3、若Q为AB中点，则P也必为BC中点。

由2可得，证明略 

 

模型五：三角转梯形

结论：

模型六：斜向平行线

结论：过双曲线上任意两点P、Q分别作PC⊥y轴于C，QA⊥x轴于A，连结AC，则PQ∥AC

模型七：等长线段

结论：过双曲线上任意两点P、Q作直线PQ分别交x轴、y轴于点M、N，

则PN=QM

模型八：等角1——平四型

结论：P、Q在双曲线上，A、B分别在y轴和x轴上，若四边形ABQP为平行四边形，

则∠1=∠2，∠3=∠4

证明：过P作DE⊥y轴于E过Q作DC⊥x轴于C交DE于D，延长PQ交x轴、y轴于M、N

由模型七得

∵ABQP为平行四边形

∴PQ∥AB，AP∥BQ，PQ=AB，AP=BQ

∴∠2=∠6=∠EPA

∵∠PEA=∠BCQ=90°

∴△PEA≌△BCQ（AAS）∴PE=BC=a，

∵OM=a+b，OC=b，∴CM=OM-OC=a

∴BC=CM

∴△QCB≌△QCM，∴∠2=∠5，

又∵∠1=∠5，∴∠1=∠2

同理可证∠3=∠4

模型九：等角2——对称型

结论：正比例函数图象与双曲线交于Q、R两点，

则∠1=∠2，∠3=∠4

证明：作P点关于点O对称点S，

连SR,SP,SQ

易证四边形PQSQ为平行四边形

由模型八可知∠2=∠5，

又∵PR∥QS，∴∠5=∠1，

∴∠1=∠2

∵∠2+∠4=90°，∠3+∠1=90°

∴∠3=∠4

模型十：等腰黄金比

结论：P、Q都在双曲线上，OP=PQ，OP⊥PQ，

证明：过P作BC⊥y轴于C，过Q作BA⊥x轴于A交BC于B

∵P（a，b）∴PC=a，OC=b

∵OP=PQ，OP⊥PQ，

∴∠CPO +∠COP= 90°，

∠CPO+∠BPQ=90°

∴∠COP=∠BPQ

∵∠OCP=∠PBQ，∴△OCP≌△PBQ

∴PC=BQ=a，OC=PB=b

∴B（a+b，b-a），Q（a+b，b-a）

连AC，由模型六可知，PQ∥AC

模型十一：平行黄金比

结论：P在双曲线上，过P作PA⊥x轴于A，

过A作AQ∥OP交双曲线于Q.

证明：过P作BC⊥y轴于C,过Q作BD⊥x轴于D,交BC于B

由AQ∥OP易证△OAP≌△ADQ

文章来源：数学新讲堂，作者：New Math Forum；如存图片/音视频/作者/来源等使用或标注有误，请联系微信alarmact处理