23 为什么这么神奇？
说明：本文为第一届和乐杯数学科普大赛参赛作品。期待更多参赛作品，共同做好数学普及。
23 为什么这么神奇？与 ， 的大小有关吗？
作者：张劲松
不知大家注意到没有，23 也是个神奇的数字。
欧几里得《原本》中有 23 个定义 希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上提出著名的'23 个问题' 人有 23 对染色体 两国关系恶化时，互相驱逐对方 23 名外交人员 任意超过 23 人的群体中，生日相同的概率大于 50% 足球世界杯每队限报 23 名球员 乔丹的球衣号码是 23 号 ......
我不知道这种神奇是否与 ， 的大小有关。为什么这么说呢？我尝试通过'比较 与 的大小'这个问题阐释数与函数之间的关系，进而认识 23 这个数。
数是数学中最基本的概念。古希腊毕达哥拉斯学派奉行'万物皆数'（Number rules the universe）信条，认为数是万物的本源，万物都是数的表现形式。函数是现代数学的核心概念，可以描述变化现象和变化规律，是两个数集之间按照一定规则的对应，是构建现代数学的基础。这个基础的基石是数。
一、问题“比较 与 的大小” 的缘起
为什么比较 与 的大小，这个问题来自何处，这是我遇到这个问题时的第一反应。查阅文献，对于问题来自何处，产生的背景是什么，并没有相关叙述。在关于 的微积分专著、科普图书中看到过'比较 与 的大小'这个问题；与一些高中数学老师交流，他们说高中教学中涉及这个问题，但都没有谈及背景及出处。实际上，数学中的很多问题有时无法找到最原始的出处，但丝毫不妨碍我们对问题的研究。而且，随着研究的深入，可以发现，这是一个好问题，有一定数学思维深度的问题。
虽然找不到这个问题的具体背景，但是我们需要分析问题的原因，寻找问题可能的来源。根据我的理解，提出这个问题的人，肯定基于 这两个伟大的数，由于 ，这两个数位于数轴上很小的区间之内，区间长度小于 0.5；结合实数指数幂的意义，猜想 与 这两个数大小差不多，有没有可能相等，如果不相等，哪个大，能不能比较出来。
二、资源获取：和的前世今生
我们生活在信息时代，信息时代的一个特征是我们可以快速地获得我们想要的绝大多数资源。'比较 与 的大小'需要了解和前世今生，当然了解分为不同的层次：少与多、浅与深、初级与高级。
大家知道， 这两个数，不仅是数学史上，而且是科学史上，甚至于人类发展史上最伟大的两个数。毋庸讳言，自这两个数诞生以来，再没有产生过比这两个数更伟大的数。这两个数在人类发展史上都留下了浓墨重彩的一笔，都可以写一部厚厚的著作。实际上，关于这两个数字的著作确实很多，虽不能说浩如烟海，但汗牛充栋是无疑的。
从资源的角度看，在比较这两个数的大小之前，需要了解这两个数的前世今生。当然，如果学生了解的话，一定要在教师的指导下进行，因为完全认识这两个数并不容易，需要高等数学的诸多知识。对于绝大多数人来说，包括我们从事数学教育的工作者，不可能穷尽其认识，这方面不再赘述。
如何研究这个问题，有不同的认识，不同的路径。下面我谈谈我遇到这个问题时具体的研究路径。
三、比较大小：近似计算与严格论证相辅相成
1. 认识实数集及其运算
'比较 与 的大小'一种方法是根据已有知识进行观察、猜测，观察始终是认识世界的第一途径，由 ，，我们首先猜测 与 这两个数应该不相等。如果相等的话，就太神了。暂时排除这种猜测，如果两者不相等，就有大小之别。大小是实数的基本属性。大小关系，或者说序关系是实数集非常重要的关系。从布尔巴基学派的结构主义观点看，实数是兼具序结构（大小）、代数结构（运算）、拓扑结构（连续）的唯一集合。这三种结构为我们研究很多问题提供了理论基础，进而提供了极大的方便。
著名数学教育家 H·弗莱登塔尔认为，数有四种功能：计数（序数）、数量（基数）、度量、运算。对于计数、数量，自然数集合足矣；对于度量，仅仅是自然数集合不够了，此时自然数集合拓广到分数；而对于计算，分数集合不够了，否则不会出现单位正方形的对角线引发的第一次数学危机，这时出现了无理数。同样的还有圆周率，它是圆周长与直径的比值，其为常数是很久以后才证明的事情。实际上，对于现实生活的度量来说，只要保持足够的精度，有理数足矣；但是从计算的角度看，从数学的严谨性认识，有理数远远不够，此时数系就从有理数扩充到了实数。一方面，康托用有理数序列的极限定义无理数，把无理数看作有理数序列的极限，解决了无理数的运算问题；另一方面，由于没有解决实数的连续性问题，戴德金从有理数出发，分割有理数集合得到了无理数，解决了实数的连续性问题。与自然数集、整数集、有理数集、无理数集相比，实数集是唯一连续的数集。这种连续性为用极限方法研究问题带来了方便，这种方便就是可以自由地运用极限方法，运算始终有意义，运算的结果仍然在实数集中。也就是说，实数集的完备性和连续性为我们研究问题提供了坚实的理论基础和强大的思想工具。
由此，我们可以放心、大胆地进行运算，而且运算始终有意义。就像上面的 和 ，尽管底数和指数都是无理数，而且是超越数，不是代数数（代数数是指任何有理系数多项式方程的根，或这些根加减乘除乘方开方等代数运算的结果），但其运算结果对于实数集封闭，也就是说，其结果仍为实数，这是因为无理数的运算可以归结为'有理数运算+极限运算'。
2. 通过近似计算直接比较大小：运用计算工具
和 都是实数指数幂，其结果为实数。这个结论，就高中阶段而言，我们只需接受就可以了。严格的证明很难，需要大学微积分的知识。
现在比较两个数的大小，既容易，又困难。说容易，是因为现在很多计算器，甚至手机，都有满足生活实际需要的大多数计算功能，可以直接计算这两个数的值。直接按 这两个按钮，可以计算得到 比 23 小， 比 23 大，所以可以比较出它们的大小。这是无厘头的工具派，通过技术工具，直接得出结果，不琢磨，而且这个结果是对的。所以这个问题很容易：就是知道 和 的意义，按按键就行了。对于大多数人来说，这没什么问题，够用了。
如果仅仅是这样，就失去了学习数学的意义。从数学角度看，这两个数都是无理数：无限不循环小数，而且不是代数数，是超越数。需要明确的是，无论任何技术工具，只能进行有限小数的计算，而不能进行无限不循环小数的计算，只有人脑才能进行无限的运算。所以比较这两个数的大小，又是件困难的事儿。困难在哪儿呢？
观察 和 这两个数的特点，底数和指数互换后比较它们的大小。一般来说，底数和指数之间不满足交换律。也就是说，互换后它们的值不相等。当然，底数和指数相同时显然相等；而且也有些特殊的例子，如 。但这样的例子不是普遍规律，如 。
在实数集合中，加法、乘法都满足交换律：，，但乘方不满足交换律，一般来说，。既然不相等，两者就有大小之分。
关于大小，大家都有这样的共识，实际中的计算往往满足一定的精确度够用即可，一是很多计算达到准确值不可能，二是也没有必要。对于 和 这两个数，我们看下面的计算过程：
| 精确到 | e | π | π^e | e^π |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 9 | 8 |
| 0.1 | 2.7 | 3.1 | 21.2 | 21.7 |
| 0.01 | 2.71 | 3.14 | 22.22 | 22.88 |
| 0.001 | 2.718 | 3.141 | 22.440 | 23.119 |
| 0.0001 | 2.7182 | 3.1415 | 22.4553 | 23.1364 |
| 0.00001 | 2.71828 | 3.14159 | 22.45750 | 23.13873 |
| … | … | … | … | … |
上面的计算，我们完全借助计算工具：科学计算器、图形计算器、GeoGebra，甚至手机的计算器功能，可以快速得到结果。除了 外，其余结果均显示 。由此，我们似乎可以得到结论 ，而且这两个数之间有唯一的正整数 23。实际上，这个结论是正确的。
但是在数学上，这种做法是不严谨的，要做到严谨就要给出证明。如何证明呢？
3. 证明：
证明两个数的大小，常规的方法一是作差，二是作商。比较这两个指数幂的大小，首先想到的是降低运算的数量级，把指数幂运算转化为乘法运算。转化的途径是取对数 ，，然后比较 与 的大小。作差的话，无法直接进行运算。我们作商：，仍然是无法直接进行运算。观察式子的特点，对式子进行适当的变形：。
观察上述算式的特点，我们能想到什么？
， 能不能比较大小？如果能，如何比较？此时函数就要大显身手了，为什么？看下面的过程。
显然， 由数字 唯一确定， 由数字 唯一确定。换句话说就是，，。把这两个式子一般化，就是
这是一个对应，这个对应是函数关系
我们研究函数 的单调性，由它的单调性，我们看是否可以得出 和 这两个数的大小关系。
因为 <mjx data-formula="f" (x)="\frac{1-\ln" x}{x^2}'="" data-formula-type="inline-equation">，所以当 时，；当 时，0' data-formula-type='inline-equation'>；当 时，<0' data-formula-type='inline-equation'>。
因此，当 时，函数 取得最大值，即 是最大值。由此 ，从而 。由此，对于任意的 ，总有 。
进一步，由函数 的单调性，当 时，；当 时，。而且，当 时，既存在无数的 使得 ；也存在无数的 使得 。反之亦成立。对于任意 ，总存在一个 ，使得 ；同样，对于任意 ，也总存在一个 ，使得 。
显然，无论多么高级的人工智能，都无法实现人脑所能实现的上述证明。虽然不能直接进行证明，但是很多技术软件，可以帮助我们画出函数 的图象，从图象我们可以直观发现函数 的性质。信息技术环境下，技术软件可以为我们的研究提供直观支持。这种直观支持很重要，给了我们直观验证的可能，如图所示函数 的图象。
4. 问题的拓展
由函数 的单调性，容易想到函数 ，由上述过程不难得到，当 时，函数 取得最大值，即 是函数 的最大值。这个值大概是多少，你能估算出来吗？
由函数 可以衍生很多问题，当自变量 的值越来越大时，函数值趋向于 1，也就是说，这个指数幂中底数 的增长，抵不住指数 的衰减；而当 时，底数 的增长，抵过指数 的衰减。有趣的结论还有很多，有兴趣的同仁可以进行探索。
同样，我们还可以研究函数 ，进而得到当 时，函数 取得最小值 。这个值大概是多少，你能估算出来吗？
幂函数、指数函数都是基本初等函数，一个自变量是底数，一个自变量是指数。基于幂函数、指数函数的函数，如 ，，如果底数和指数都变化的话，这样的函数有什么变化规律，可以在我们的教学中作为拓展问题，让学生思考它们的变化规律，研究它们的单调性，进而获得它们的最大（小）值。反过来，通过函数的单调性，判断它们在定义域中取不同取值时函数值的大小，可以帮助我们认识数与函数之间的关系。
5. 对问题的反思
这是来自教学中的问题。这个问题可以分阶段在教学中实施：一个阶段是在学习实数指数幂时，让学生猜想两个数的大小，然后运用计算工具得到两个数的近似值，比较大小；另一个阶段是学习用导数研究函数的单调性时，对两个数的大小进行严格证明，从感性、近似计算到理性、严格论证。经历这样的学习过程，不仅有助于学生认识 这两个人类发展史上最伟大的数，而且有助于加深对指数函数、导数等知识、思想方法的认识，进一步认识数与函数之间的关系：数具体、直观、特殊，函数抽象、形式、一般。数是函数的特殊化，我们可以通过函数研究数。另外，从信息技术的角度看，这个问题可以使学生充分认识技术的快速计算、图象绘制的强大功能，为我们严格证明提供直观支撑。
总之，观察、推理是认识世界的两种途径：观察永远是第一位的，推理有助于我们站得更高、走得更远、认识得更加深刻；观察和推理永远要相辅相成。
四、23 为什么这么神奇
通过近似计算，我们发现， 和 这两个数差别极小，一个比 23 大一点，一个比 23 小一点，即 ，而且 23 是 和 之间唯一的正整数。
在我心目中，23 是个神奇的数字。我不知道这种神奇是否因为 23 是 和 之间唯一的正整数。
23 这个数为什么这么神奇，我没有给出答案，可能根本给不出答案，是个永远开放的问题，永远的答案多元化。有兴趣的同仁，不妨探究一下。
'比较 与 的大小'首先涉及的是对实数指数幂意义的理解，对它的近似计算，而这是在严格证明之前必须经历的过程。我们的认识始终是从感性、近似计算到理性、严格论证。一入手就'绝对准确'的严格论证掩盖了认识的完整过程，导致认识不全面。我们不仅要'知其然'——，还要'知其所以然'——为什么 ？更要'何由以知其所以然'——如何想到函数 ？这样的话，一个'小题'——比较 与 的大小，我们完全可以'大做'——认识实数指数幂的意义、实数集的完备性和连续性、近似计算、函数的概念、用导数研究函数的单调性、严格证明、e和π的前世今生；计算工具、技术软件、平台资源的使用；探讨 23 为什么这么神奇等等。
作者介绍：张劲松，1972 年 2 月生，人民教育出版社中学数学室 编审，资深编辑。