高中数学常用结论（2）——二次函数相关

1、二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式

;

(2)顶点式

;

(3)零点式

,其中，

为方程

的两个实根.

以上三种形式的表达式应视题中情况而定。

例1：已知二次函数经过三点

(三个很普通的点)，此时我们可以设出第一种解析式，进行求解；

例2：已知二次函数的顶点坐标为

,又已知函数图象经过另一点

时，可设出第二种解析式，进行求解；

例3：已知二次函数图象与x,y轴的交点

此时我们可以设出第三种解析式，同时也可以使用根与系数的关系确定对称轴为

.

2、闭区间上的二次函数的最值.二次函数的单调性作为高中数学的一个应用点和重要考点，我们一定要深刻理解其性质，尤其是结合图象进行自行总结是对这部分知识加深理解的重要方法。因为二次函数图象开口向上时（即0'>

）,函数图象以对称轴为界，左减右增，即二次函数单调性为左减右增；开口向下（即0'>

）时，函数图象以对称轴为界，左增右减。因此在判定二次函数

在某区间

上的最值时，一定要注意讨论对称轴与区间的位置关系，具体如下：

（1）当0'>

时，若

,则

,

，即此时的最大值在端点处，最小值在顶点处取得；

若

,此时函数在

上单调递增，则

,

；若q'>

,此时函数在

上单调递减，则

,

.

（2）当

时，若

,则

,

，即此时的最大值在顶点处，最小值在端点处取得；

若

,此时函数在

上单调递减，则

,

；若q'>

,此时函数在

上单调递增，则

,

.

（本图仅供参考）

（以上也是求解闭区间最值时的分类讨论的各种情况。）

3、函数法求解一元二次方程的实根分布（设

）

【依据：若函数在定义域内的某个区间上满足条件

,则方程

在区间

内至少有一个实根。】

（1）方程

在区间

内有根的充要条件为

或m}'>

;

(2)方程

在区间

内有根的充要条件为

或

(3)方程

在区间

内有根的充要条件为

或

;

(以上为个人总结，欢迎各位同仁指正留言，“三人行必有我师”，乔木林恭候大家光临！)