读牌中的贝叶斯公式(2) 震惊!史上最简单坐庄路线决定方法 八飞九不飞

在开始这一篇之前,想先做一个说明。由于贝叶斯的贡献非常广泛,且许多关于“贝叶斯”的名词之间有所联系,又不完全相同,有时引用起来难以界定。我们在有关桥牌的文章中使用其理论大多都与概率模型等有关,有时直呼“贝叶斯”,请不要见怪。

上一篇文章的信息量有点大,我们匆匆忙忙的讲完了贝叶斯的内容,罗列了一系列的公式,也夸下海口,说贝叶斯公式可以解释桥牌里面一切内容。但是,胖子不是一口吃成的,使用贝叶斯公式进行推理的方法,也需要一点点慢慢的展开介绍。我们计划在今后的五六篇,或者七八篇,乃至十几篇文章中来阐述贝叶斯公式的这个宏大的主题。而且好消息是,今后的文章,将全都以牌例为主。我保证,从现在开始,只要学过小学数学的牌手,都可以看懂所有的内容,而且会看得很精彩

让我们从最最基本的情景开始慢慢讨论贝叶斯吧。假设敌方没有任何叫牌,没有任何插叫,不打信号,不做任何透露自己信息的事情。在这种情况下,如何比较两种坐庄路线的成功概率大小?先说结论。

结论一:在没有任何额外信息的情况下,一种坐庄路线成功的概率,正比于有多少种牌张的分布情况可以让这种坐庄路线成功。

这种说法看起来再正常不过了。但是,这个说法不实用。我们可以升级一下这个结论,让它变成一个牌桌上可用的方法。

结论二:在做庄中,如果在某一关键时刻,你面前有两个选择,而敌方在这个关键时刻之间都没有透露出任何额外信息。那么,下面这个方法可以帮你选出概率更大的那条路线:

  1. 首先,将剩下还没有出过的所有的牌在脑内混在一起以后,枚举各种排列组合的方式发牌给两个防守方(一定要保证覆盖到每一种情况,没有遗漏)

  2. 然后,对于每一种坐庄路线,数出(1)这个过程有多少种组合可以让这个坐庄路线获得成功。

  3. 我们假设对于路线一有x种组合可以成功,而对于路线二有y种组合可以成功。那么,如果x大于y,那么说明路线一成功的概率更大,也就说明路线一更优。(更准确的来说,路线一成功的概率和路线二成功的概率之比就等于x/y)

我们来看一道入门时候的经典牌例来阐释。

牌例:八飞九不飞之八飞

假设你坐南,成为了7NT的庄家。坐在西家的是你的npy,所以在ta的百般撒娇下,你允许ta在首攻前看了一眼你的牌和明手的牌(!),因此现在西家在首攻前知道四明手。因此,无论ta有没有黑桃Q,ta都知道攻一张小黑桃是一个完全安全的首攻。然后,西家就在ta所有的小牌中随机抽了一张作为首攻,现在就假设是红心2。

注:做出这个假设是要首先排除掉首攻的因素,虽然我们会在后面证明这一因素的影响实在是太小,可以忽略不计。

作为基本操作,你先拔了黑桃A,然后兑现了其他花色所有的赢墩,最终停在暗手。防守方十分随机的跟出了每一张牌,且都没有垫牌,因此现在两边都有10张牌已知。之后,你打出了黑桃J,谢天谢地,西家,也就是你的npy跟出了一张黑桃。好的,现在来决定命运吧。

学过桥牌的人都知道,这就是一副“八飞九不飞”的直接应用。让我们来看看上面所说的方法是不是适用。

第一步(脑内混洗剩余牌张):外面已经出了21张牌,还剩下5张牌(黑桃Q,一张小黑桃,红心、方块、草花各一张)。把这5张牌在脑内混洗,然后发两张牌给东家,三张牌给西家,一共有5C2=10种。(看不懂这个记号的话可以在纸上一个个列举一下)

第二步(计算每种路线可能数):在这10种当中,飞张成功的可能性,有4种(发给西家一张SQ,然后再发给他任意一门花色的小牌)。而不飞张拔大牌的概率,有3种(东家拿黑桃Q,然后再在红心、方块、草花中任选两张小牌)。

飞张成功的分布

拔东家双张Q的分布

第三步(比较两种路线可能数的大小):由于路线一的种数多,所以飞张成功的可能性大。精确点说,路线一成功的概率比上路线二的成功概率就是4比3。正确答案和古人告诉我们的一样:八飞。

如果不求甚解的读者们,读到这里就已经get到本文的所有意思了,上面这个方法也足够做课后的作业了。下面一长段都是在证明:为什么我们提的这个方法是正确的。


证明:为什么“概率=分布数”?

在开始证明之前,我们可以先来看看,入门教科书上面一般怎么来说明这个问题的。任何一本入门书上,都会说“飞牌成功的概率是50%”,然后再计算黑桃是单张或双张带Q的概率是多少多少,并且声明这种概率小于50%,因此应该选择飞牌。

这种说法看起来挺对的,但其实背后的讨论是不够深入的。特别来说,这种分析方法,起码在打到上面的那种只剩5张牌的残局的时候已经完全不适用了。为此,我们应该来仔细考虑一下,“飞张成功率50%”“黑桃Qx单张/双张的概率是多少”这些说法,到底是怎么来的

飞张成功的概率50%”,它背后的含义表述其实是:“在什么都不知道的情况下,某一张特定的大牌在东家或在西家的概率相同”。我们把庄家和明手的牌固定下来,(先不考虑首攻,因为首攻出来的牌也是额外信息——事实上,每一位牌手在牌桌上的任何一举一动都是额外信息),然后把剩下26张牌随意的混洗后发给东家和西家各13张,那其中某张特定的牌的概率在西家或东家的概率的确就是一半一半。

而对于单张/双张Q的概率分析,很多老的教科书一般是把黑桃的5张牌用所有可能的情况发给东西两家,然后把每种黑桃短套时的概率进行计算,加权得到总的概率。

其实排列下来也就32种情况

但是,我们要注意到,这里的分析隐含了一个假设:所有的情况都等可能的出现。不巧的是,这种情况只有在牌还没开始打(并且叫牌中敌方也没有透露任何信息)的情况下成立。一旦开始打牌,这个假设就不成立了(举例来说,打到上图这个情况,两家单张黑桃Q的情况就已经不存在了)。换句话说,这里分析的是牌还没有开始打的情况下的先验知识

在先验的情况下,上面这种计算方法的确可以完成原始的概率估计;然而,在我们现在的牌例中,已经打了10墩牌,并且西家比东家多出了一轮牌(一张黑桃小牌,意味着西家黑桃Qx双张的可能性已经不存在了)。我们打出的这十又二分之一圈的牌,成为了我们在这个时刻知道的额外信息,也是我们估算概率时需要考虑的依据。这,在贝叶斯公式中,被称为“前提”。

在贝叶斯公式的角度来看,对于任何概率来说,“前提”都很重要。前提信息越多,对于概率的刻画就会越准确。如果我说“今天下雨的概率是60%”,任何人都会觉得我是瞎猜吧,但是如果我说“通过气象观察,今天的层积云厚度是多少多少,风力大小是多少多少,历史上类似的情况出现过30次,其中有18次下雨了,所以下雨的概率大约是60%”,这样得来的概率是不是就可信多了。“气象观察的结果”,就是我们在估算概率时候的依据,也就是我们在贝叶斯公式里面提到的“前提”。不同的前提,比如今天是晴空万里还是乌云密布,自然会导致完全不同的最终后果的概率。

注:真实的气象预报当然比这个要复杂,这里只是举个例子。

而反过来说,在计算概率时如果不考虑前提,或者不随着情况的发展更新前提,那么计算的概率就是不准的(就像用老教科书上的办法分析这边的例子)。

贝叶斯公式登场:正确的分析方法

老的桥牌教科书上的分析方法,其实背后体现的是传统的统计学派的思想(也就是我们在中学时候就学过的,使用统计的方法,通过一件事情出现频率的多少来反映概率的大小),但却不强调这种频率所依托的关系发生的前提是什么。

而贝叶斯公式,乃至其背后的贝叶斯估计学派的核心思想,就是“显式地把前提用数学语言表达”,并且以此构建出了一个更加精确地,适用于某个具体场景的概率世界。

现在让我们来用贝叶斯公式好好分析一下这个问题吧。在这个问题中,我们所谓的先验概率是指“在牌还完全没有打的时候”的概率分布,而后验概率指的是“已经打出了那么多牌时”的概率分布。我们把事件A1叫做“飞牌能够成功”,把事件A2叫做“拔SA能够成功”。而我们把当前打出的所有的牌叫做事件B。那么,现在就是要比较在事件B发生的情况下,事件A1和A2的概率的大小关系。

我们之前讲过,在这个牌例中,牌手是随意地跟出每一张牌的,因此在这种没有额外信息的情况下,我们认为两位牌手打牌过程中所包含的信息只有B。作此说明的目的在于,要阐明两位防守方手中所持黑桃情况(有无黑桃Q)对他们的跟牌顺序、跟牌状态等等没有任何影响,我们讨论的只有牌张分布本身。于是我们可以认为,最终的A1(飞牌能够成功)和A2(拔SA能够成功)对我们重新审视B(当前打出的所有的牌)的发生没有任何帮助,所以可以认为P(B|A1)和P(B|A2)是一样的。同理,P(B)是一个正则化项,对于A1和A2来说是一样的,所以要比较的,其实就是P(A1)和P(A2)的大小关系。简单来说,就是在已经打出这些牌固定下来的情况下,剩下这几张牌的分布中,“拔SA能够成功”和“飞牌能够成功”的概率对比。

注:这里“由于牌手随意跟出牌”推导出“P(B|A1)=P(B|A2)”是一个近似,我们将在严格证明中讨论这一点。

还记不记得我们在之前的文章中说过,机发牌的特点就是“每一种牌出现的概率都一样”,这恰恰是我们在贝叶斯推理时候的基本点。既然每一种牌出现的概率都一样,那么“飞牌成功的概率”(即A1的大小)就正比于“有多少种牌是飞牌可以成功的”,同样,“拔K成功的概率”(即A2的大小)就正比于“有多少种牌拔大牌能够成功”。开头已经分析过,飞牌(对应A1)成功的种数是4种,而拔大牌(对应A2)成功的种数是3中。因此,A1概率比A2大,也就是飞牌成功的概率比拔大牌的概率要大。不过有趣的是,两者的概率比是4:3(57.2%:42.8%),也并不像我们想象的那么悬殊对吧。(原因是这副牌已经基本打明了,S均分的概率变大了很多)

不知道有没有认真的读者,能体会到了我们之前花好久介绍发牌机的“完全随机”这一特性的良苦用心:因为“完全随机”,每种发牌情况对应的概率都一样,所以两种路线之间的成功总概率的比值,就可以约分,简化成两种路线成功的分布种数的比值。这样,我们就把一个概率问题转化为了一个计数问题!因此,下次打牌,忘了那些百分比,只要在脑内把成功的所有分布都枚举一遍,就能得到正确的结论了(这当然很难,尤其是在牌局的开始阶段。我们之后也许会提到,百分比其实是一种简化思考的途径)。这不由让我想起学牌的时候,我的教练有一句名言:“打机发牌不要看概率,而要看线路的机会数量。”诚不我欺!

总结

今天只是初窥贝叶斯的神奇之处。不知道大家有没有发现,虽然我们是在用贝叶斯来做推理,但是在文章开始的那个方法,却和贝叶斯,概率,先验,后验没有半毛钱关系。我们用了个很高深的数学理论,得到了一个十分简单实用的结论,对于大家来说,只要记住这个结论,在遇到的时候用一用即可

好的,那么作为一道作业题,来计算一下“九不飞”到底是不是更优的打法呢?用于探讨的牌例在下方。我们同样完全不考虑防守方在出牌时候透露的信息。

回答“飞牌成功的概率/拔大牌试图砸Q成功的概率”到后台(以最简分数的形式,例如'2/3',不含引号),答对的朋友有福利。福利是对于今天这个结论的严格证明。

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