读牌中的贝叶斯公式（2） 震惊！史上最简单坐庄路线决定方法 八飞九不飞
在开始这一篇之前，想先做一个说明。由于贝叶斯的贡献非常广泛，且许多关于“贝叶斯”的名词之间有所联系，又不完全相同，有时引用起来难以界定。我们在有关桥牌的文章中使用其理论大多都与概率模型等有关，有时直呼“贝叶斯”，请不要见怪。
上一篇文章的信息量有点大，我们匆匆忙忙的讲完了贝叶斯的内容，罗列了一系列的公式，也夸下海口，说贝叶斯公式可以解释桥牌里面一切内容。但是，胖子不是一口吃成的，使用贝叶斯公式进行推理的方法，也需要一点点慢慢的展开介绍。我们计划在今后的五六篇，或者七八篇，乃至十几篇文章中来阐述贝叶斯公式的这个宏大的主题。而且好消息是，今后的文章，将全都以牌例为主。我保证，从现在开始，只要学过小学数学的牌手，都可以看懂所有的内容，而且会看得很精彩！
让我们从最最基本的情景开始慢慢讨论贝叶斯吧。假设敌方没有任何叫牌，没有任何插叫，不打信号，不做任何透露自己信息的事情。在这种情况下，如何比较两种坐庄路线的成功概率大小？先说结论。
结论一：在没有任何额外信息的情况下，一种坐庄路线成功的概率，正比于有多少种牌张的分布情况可以让这种坐庄路线成功。
这种说法看起来再正常不过了。但是，这个说法不实用。我们可以升级一下这个结论，让它变成一个牌桌上可用的方法。
结论二：在做庄中，如果在某一关键时刻，你面前有两个选择，而敌方在这个关键时刻之间都没有透露出任何额外信息。那么，下面这个方法可以帮你选出概率更大的那条路线：
首先，将剩下还没有出过的所有的牌在脑内混在一起以后，枚举各种排列组合的方式发牌给两个防守方（一定要保证覆盖到每一种情况，没有遗漏）
然后，对于每一种坐庄路线，数出（1）这个过程有多少种组合可以让这个坐庄路线获得成功。
我们假设对于路线一有x种组合可以成功，而对于路线二有y种组合可以成功。那么，如果x大于y，那么说明路线一成功的概率更大，也就说明路线一更优。（更准确的来说，路线一成功的概率和路线二成功的概率之比就等于x/y）
我们来看一道入门时候的经典牌例来阐释。
牌例：八飞九不飞之八飞
假设你坐南，成为了7NT的庄家。坐在西家的是你的npy，所以在ta的百般撒娇下，你允许ta在首攻前看了一眼你的牌和明手的牌（！），因此现在西家在首攻前知道四明手。因此，无论ta有没有黑桃Q，ta都知道攻一张小黑桃是一个完全安全的首攻。然后，西家就在ta所有的小牌中随机抽了一张作为首攻，现在就假设是红心2。
注：做出这个假设是要首先排除掉首攻的因素，虽然我们会在后面证明这一因素的影响实在是太小，可以忽略不计。
作为基本操作，你先拔了黑桃A，然后兑现了其他花色所有的赢墩，最终停在暗手。防守方十分随机的跟出了每一张牌，且都没有垫牌，因此现在两边都有10张牌已知。之后，你打出了黑桃J，谢天谢地，西家，也就是你的npy跟出了一张黑桃。好的，现在来决定命运吧。
学过桥牌的人都知道，这就是一副“八飞九不飞”的直接应用。让我们来看看上面所说的方法是不是适用。
第一步（脑内混洗剩余牌张）：外面已经出了21张牌，还剩下5张牌（黑桃Q，一张小黑桃，红心、方块、草花各一张）。把这5张牌在脑内混洗，然后发两张牌给东家，三张牌给西家，一共有5C2=10种。（看不懂这个记号的话可以在纸上一个个列举一下）
第二步（计算每种路线可能数）：在这10种当中，飞张成功的可能性，有4种（发给西家一张SQ，然后再发给他任意一门花色的小牌）。而不飞张拔大牌的概率，有3种（东家拿黑桃Q，然后再在红心、方块、草花中任选两张小牌）。
飞张成功的分布
拔东家双张Q的分布
第三步（比较两种路线可能数的大小）：由于路线一的种数多，所以飞张成功的可能性大。精确点说，路线一成功的概率比上路线二的成功概率就是4比3。正确答案和古人告诉我们的一样：八飞。
如果不求甚解的读者们，读到这里就已经get到本文的所有意思了，上面这个方法也足够做课后的作业了。下面一长段都是在证明：为什么我们提的这个方法是正确的。
证明：为什么“概率=分布数”？
在开始证明之前，我们可以先来看看，入门教科书上面一般怎么来说明这个问题的。任何一本入门书上，都会说“飞牌成功的概率是50%”，然后再计算黑桃是单张或双张带Q的概率是多少多少，并且声明这种概率小于50%，因此应该选择飞牌。
这种说法看起来挺对的，但其实背后的讨论是不够深入的。特别来说，这种分析方法，起码在打到上面的那种只剩5张牌的残局的时候已经完全不适用了。为此，我们应该来仔细考虑一下，“飞张成功率50%”“黑桃Qx单张/双张的概率是多少”这些说法，到底是怎么来的。
“飞张成功的概率50%”，它背后的含义表述其实是：“在什么都不知道的情况下，某一张特定的大牌在东家或在西家的概率相同”。我们把庄家和明手的牌固定下来，（先不考虑首攻，因为首攻出来的牌也是额外信息——事实上，每一位牌手在牌桌上的任何一举一动都是额外信息），然后把剩下26张牌随意的混洗后发给东家和西家各13张，那其中某张特定的牌的概率在西家或东家的概率的确就是一半一半。
而对于单张/双张Q的概率分析，很多老的教科书一般是把黑桃的5张牌用所有可能的情况发给东西两家，然后把每种黑桃短套时的概率进行计算，加权得到总的概率。
但是，我们要注意到，这里的分析隐含了一个假设：所有的情况都等可能的出现。不巧的是，这种情况只有在牌还没开始打（并且叫牌中敌方也没有透露任何信息）的情况下成立。一旦开始打牌，这个假设就不成立了（举例来说，打到上图这个情况，两家单张黑桃Q的情况就已经不存在了）。换句话说，这里分析的是牌还没有开始打的情况下的先验知识。
在先验的情况下，上面这种计算方法的确可以完成原始的概率估计；然而，在我们现在的牌例中，已经打了10墩牌，并且西家比东家多出了一轮牌（一张黑桃小牌，意味着西家黑桃Qx双张的可能性已经不存在了）。我们打出的这十又二分之一圈的牌，成为了我们在这个时刻知道的额外信息，也是我们估算概率时需要考虑的依据。这，在贝叶斯公式中，被称为“前提”。
在贝叶斯公式的角度来看，对于任何概率来说，“前提”都很重要。前提信息越多，对于概率的刻画就会越准确。如果我说“今天下雨的概率是60%”，任何人都会觉得我是瞎猜吧，但是如果我说“通过气象观察，今天的层积云厚度是多少多少，风力大小是多少多少，历史上类似的情况出现过30次，其中有18次下雨了，所以下雨的概率大约是60%”，这样得来的概率是不是就可信多了。“气象观察的结果”，就是我们在估算概率时候的依据，也就是我们在贝叶斯公式里面提到的“前提”。不同的前提，比如今天是晴空万里还是乌云密布，自然会导致完全不同的最终后果的概率。
注：真实的气象预报当然比这个要复杂，这里只是举个例子。
而反过来说，在计算概率时如果不考虑前提，或者不随着情况的发展更新前提，那么计算的概率就是不准的（就像用老教科书上的办法分析这边的例子）。
贝叶斯公式登场：正确的分析方法
老的桥牌教科书上的分析方法，其实背后体现的是传统的统计学派的思想（也就是我们在中学时候就学过的，使用统计的方法，通过一件事情出现频率的多少来反映概率的大小），但却不强调这种频率所依托的关系发生的前提是什么。
而贝叶斯公式，乃至其背后的贝叶斯估计学派的核心思想，就是“显式地把前提用数学语言表达”，并且以此构建出了一个更加精确地，适用于某个具体场景的概率世界。
现在让我们来用贝叶斯公式好好分析一下这个问题吧。在这个问题中，我们所谓的先验概率是指“在牌还完全没有打的时候”的概率分布，而后验概率指的是“已经打出了那么多牌时”的概率分布。我们把事件A1叫做“飞牌能够成功”，把事件A2叫做“拔SA能够成功”。而我们把当前打出的所有的牌叫做事件B。那么，现在就是要比较在事件B发生的情况下，事件A1和A2的概率的大小关系。
我们之前讲过，在这个牌例中，牌手是随意地跟出每一张牌的，因此在这种没有额外信息的情况下，我们认为两位牌手打牌过程中所包含的信息只有B。作此说明的目的在于，要阐明两位防守方手中所持黑桃情况（有无黑桃Q）对他们的跟牌顺序、跟牌状态等等没有任何影响，我们讨论的只有牌张分布本身。于是我们可以认为，最终的A1（飞牌能够成功）和A2（拔SA能够成功）对我们重新审视B（当前打出的所有的牌）的发生没有任何帮助，所以可以认为P(B|A1)和P(B|A2)是一样的。同理，P(B)是一个正则化项，对于A1和A2来说是一样的，所以要比较的，其实就是P(A1)和P(A2)的大小关系。简单来说，就是在已经打出这些牌固定下来的情况下，剩下这几张牌的分布中，“拔SA能够成功”和“飞牌能够成功”的概率对比。
注：这里“由于牌手随意跟出牌”推导出“P(B|A1)=P(B|A2)”是一个近似，我们将在严格证明中讨论这一点。
还记不记得我们在之前的文章中说过，机发牌的特点就是“每一种牌出现的概率都一样”，这恰恰是我们在贝叶斯推理时候的基本点。既然每一种牌出现的概率都一样，那么“飞牌成功的概率”（即A1的大小）就正比于“有多少种牌是飞牌可以成功的”，同样，“拔K成功的概率”（即A2的大小）就正比于“有多少种牌拔大牌能够成功”。开头已经分析过，飞牌（对应A1）成功的种数是4种，而拔大牌（对应A2）成功的种数是3中。因此，A1概率比A2大，也就是飞牌成功的概率比拔大牌的概率要大。不过有趣的是，两者的概率比是4:3（57.2%:42.8%），也并不像我们想象的那么悬殊对吧。（原因是这副牌已经基本打明了，S均分的概率变大了很多）
不知道有没有认真的读者，能体会到了我们之前花好久介绍发牌机的“完全随机”这一特性的良苦用心：因为“完全随机”，每种发牌情况对应的概率都一样，所以两种路线之间的成功总概率的比值，就可以约分，简化成两种路线成功的分布种数的比值。这样，我们就把一个概率问题转化为了一个计数问题！因此，下次打牌，忘了那些百分比，只要在脑内把成功的所有分布都枚举一遍，就能得到正确的结论了（这当然很难，尤其是在牌局的开始阶段。我们之后也许会提到，百分比其实是一种简化思考的途径）。这不由让我想起学牌的时候，我的教练有一句名言：“打机发牌不要看概率，而要看线路的机会数量。”诚不我欺！
总结
今天只是初窥贝叶斯的神奇之处。不知道大家有没有发现，虽然我们是在用贝叶斯来做推理，但是在文章开始的那个方法，却和贝叶斯，概率，先验，后验没有半毛钱关系。我们用了个很高深的数学理论，得到了一个十分简单实用的结论，对于大家来说，只要记住这个结论，在遇到的时候用一用即可。
好的，那么作为一道作业题，来计算一下“九不飞”到底是不是更优的打法呢？用于探讨的牌例在下方。我们同样完全不考虑防守方在出牌时候透露的信息。
回答“飞牌成功的概率/拔大牌试图砸Q成功的概率”到后台（以最简分数的形式，例如'2/3'，不含引号），答对的朋友有福利。福利是对于今天这个结论的严格证明。