什么是湍流？试着想象两幅画面，一幅是一条平静的河流，另一幅是奔流激起了白色浪花的河流——前者向一个方向流动，后者同时向多个不同方向流动。在数学和物理学中，后面这幅画面中所存在的不规则运动就被称为湍流。湍流的运动能以多种不同的方式同时展开，因此在数学上对它们进行研究是极为困难的。也正因如此，描述流体流动的NS方程（纳维叶-斯托克斯方程）才会如此难以求解，它甚至被列为七个“千禧年大奖难题”之一，足以彰显它在数学上的困难程度。1959年，一位名叫乔治·巴切勒（George Batchelor）的数学家兼物理学家提出，某些湍流系统虽然看起来非常混乱，但它们实际上遵循着一种简单、精确的普遍规律。这便是与湍流有关的一个关键预测——巴切勒定律，它描述的是液体在混合时所形成的漩涡的大小和分布，是对当一种流体与另一种流体混合时，相同温度下的大尺度现象与小尺度现象之间的比率的预测。○ 巴切勒定律有助于解释化学浓度和温度如何在液体中分布，我们能在冷热混合的海水中的那些大小不同的旋涡里看到它的作用。| 图片来源：NOAA/GEOPHYSICAL FLUID DYNAMICS LABORATORY这样的现象在自然界中广泛存在，物理学家称之为“定律”，因为他们在实验室中已经对这种现象观察多年。例如，将牛奶倒入咖啡搅拌时，可以产生一个大的漩涡，如果你放大看，会发现大旋涡上出现了小漩涡，小漩涡上会出现更小的旋涡……随着牛奶与咖啡的混合，漩涡也越来越小，每一层的细节均在发生变化，形成有点类似分形的复杂结构。但这些结构并不完全与分形相同，因为这些小漩涡并不是大漩涡的完整“复制品”，每个小旋涡都可以有自己的旋转方向。虽然从物理学的角度来看，这已经足以被称为定律，但数学家却无法对此满足，因为到目前为止还没有数学上的证据证明它是绝对成立的。直到最近，数学家Jacob Bedrossian、Samuel Punshon-Smith和Alex Blumenthal才首次证实了巴切勒定律的正确性，为描述液体中的运动模式提供了一种新的方法。让我们以向一桶白色的油漆中倒入黑色油漆的过程为例：试想你每秒钟向一桶白色油漆内加入一滴黑色油漆，边加边搅拌。当第一滴黑色油漆落在白色油漆上时，它就像一个孤岛一样，但过不了多久，随着搅拌的进行，它开始与白色油漆混合，拉长成越来越细的黑色纹路。随后被加进来的黑色油漆也将处于这种过程的不同阶段：被拉伸、拉长，最后融入到整体渐渐变灰的油漆中。现在，假如你已经将这个一边搅拌一遍添加黑色油漆的过程进行了一段时间，然后此刻你将画面定格——这时你会看到画面中既有粗粗的黑色卷须，也有细细的黑色卷须，还有比细的卷须更细的纹路……粗的卷须是由刚被加进来搅拌不久的黑色油漆形成的，越细的卷须则表明是已经被搅拌了更长时间的黑色油漆。巴切勒定律预测，在这个场景中，粗卷须、细卷须和最细卷须的数量符合一个精确的比例——就像是俄罗斯套娃里，娃娃的大小是遵循一个精确的比例一样。换句话说，巴切勒定律能告诉我们这些黑色卷须的大小分布，它所预测的确切比例很难描述，但总的来说更细的卷须的数量以一种确切的比例多于更粗的卷须的数量。巴切勒定律预测，即使我们对流体的某一处进行放大，也会发现这个比例能维持不变。这是一个强有力的预测，但它难以用数学模型来模拟。直到这次，偏微分方程方面的专家Bedrossian，主攻概率学的Punshon-Smith，以及研究动力学系统和遍历理论的Blumenthal通过结合这四个领域的知识，证明了这一定律。他们采用了一种考虑湍流系统中，流体的平均行为的方法。这是一种曾被数学家们多次尝试却没人成功的策略。这种方法会忽略很多细节，它可以很好地利用随机性能够帮助我们对系统的整体行为做出准确预测这一点。这对应于流体和混合的油漆来说意味着什么呢？我们知道，由于对流体行为进行精确的确定性描述超出了数学所能实现的范畴，因此，可以选择将施加在油漆上的力视为是随机的——有时这样搅拌它，有时那样搅拌它，没有固定的模式。这就是所谓的随机方法。如此一来，数学家就可以从更高层面的统计视角来审视系统中发生了什么，而无需纠结于每个细枝末节。利用这种方法，三位数学家最终证明了巴切勒定律。这是迄今为止数学中对湍流最为严谨的描述之一，它只在少数几种情况不符合真正解决千禧年大奖难题。虽然在我们的生活中，巴切勒定律随处可见。但在这次证明出现之前，巴切勒定律只能算作是一个猜想，虽然这个猜想得到了许多实验数据的支持，但是数学证明让我们真正地了解了流体中到底发生了什么。Bedrossian介绍说，一开始他们并不确定这是否是一项可以完成的工作，因为湍流定律实在太过于复杂，以至于大家都认为它们无法用数学方法来解释。但这次，他们通过整合多个领域的专业知识解决了这个问题。Bedrossian希望这次的证明对湍流研究来说仅仅是一个“热身”，它代表的是我们是可以用数学来证明湍流的普遍性定律的。新的证明除了带来了数学上的突破，还有望帮助科学家和工程师在许多领域重新建立更精确的湍流模型，从空气动力学到气旋的形成，从而最终帮助我们设计出更好的交通工具、风力涡轮机等技术，以及帮助科学家建立更好的天气和气候预测模型。封面图来源：Qizheng Yan & David Saintillan / UCSD[1] https://cmns.umd.edu/news-events/features/4520[2] https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-batchelors-law-of-turbulence-20200204/[3] https://cosmosmagazine.com/physics/mathematicians-provide-explanation-for-an-uncertain-law-of-physics
[4] https://arxiv.org/pdf/1911.11014.pdf
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