文章目录

基本思想
一般步骤
检测
子集树模板

子集树模板递归版
子集树模板迭代版

排列树模板

排列树模板递归版
排列树模板迭代版

应用举例

应用子集树模板思想
应用排列树模板思想

回溯法 在最优解，排列组合和解空间搜索中存在典型应用。

我们知道动态规划和贪婪算法都要求无后效性，即子问题的解是当前的最优解，不能回退。当这种要求得不到满足时，一种的通常做法是采用回溯的方法进行求解。

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

一般步骤

定义一个解空间（子集树、排列树二选一） 理解重要
利用适于搜索的方法组织解空间。
利用深度优先法搜索解空间。
利用剪枝函数避免移动到不可能产生解的子空间。

检测

检测是判断是否剪枝的依据。

约束函数-是否满足显约束（存在）
限界函数-是否满足隐约束（最优）

子集树模板

遍历子集树(完全二叉树)，时间复杂度 O(2^n)，可以分为两类题型：

如果解的长度是不固定的，那么解和元素顺序无关，即可以从中选择0个或多个。例如：子集，迷宫，…
如果解的长度是固定的，那么解和元素顺序有关，即每个元素有一个对应的状态。例如：子集，8皇后，…

解空间的个数指数级别的，为2^n，可以用子集树来表示所有的解

适用于：幂集、子集、0-1背包、装载、8皇后、迷宫、…

子集树模板递归版

'''求集合{1, 2, 3, 4}的所有子集'''class SubSetTree:    def __init__(self, a):        self.a = a      # 数据列表        self.n = len(a) # 数据长度        self.x = []     # 一个解        self.X = []     # 一组解    def conflict(self, k):    # 冲突检测：无        return False    # # 例子，冲突检测：奇偶性相同，且和小于8的子集    # def conflict(self, k):    #     # 根据部分解，构造部分集    #     if len(self.x)==0:    #         return False    #     if 0 < sum(map(lambda y:y%2, self.x)) < len(self.x) or sum(self.x) >= 8: # 只比较 x[k] 与 x[k-1] 奇偶是否相间    #         return True        #     return False # 无冲突    # 子集树递归模板    def backtrack(self, k): # 到达第k个元素        if k >= self.n:  # 超出最尾的元素            self.X.append(self.x[:]) # 保存（一个解）        else:            for i in [1, 0]: # 遍历元素 a[k] 的两种选择状态:1-选择，0-不选                if i==1:                    self.x.append(self.a[k])                if not self.conflict(k): # 剪枝                    self.backtrack(k+1)                if i==1:                    self.x.pop()              # 回溯    def SovleSubSet(self):        self.backtrack(0)        return self.Xif __name__ == '__main__':    test = SubSetTree([1, 2, 3, 4])    res = test.SovleSubSet()    print(res)   # [[1, 2, 3, 4], [1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2], [1, 3, 4], [1, 3], [1, 4], [1], [2, 3, 4], [2, 3], [2, 4], [2], [3, 4], [3], [4], []]

子集树模板迭代版

排列树模板

遍历排列树，时间复杂度O(n!)

解空间是由 n 个元素的排列形成，也就是说 n 个元素的每一个排列都是解空间中的一个元素，那么，最后解空间的组织形式是排列树。

适用于：n个元素全排列、旅行商、…

排列树模板递归版

'''求[1,2,3,4]的全排列'''class PermTree:    def __init__(self, data):        self.n = len(data)        self.x = data # 一个解        self.X = []   # # 一组解          # # 冲突检测：无    # def conflict(self, k):    #     return False # 无冲突    # 例子，冲突检测：元素奇偶相间的排列    def conflict(self, k):        if k==0:                   # 第一个元素，肯定无冲突            return False                    if self.x[k-1] % 2 == self.x[k] % 2: # 只比较 x[k] 与 x[k-1] 奇偶是否相同            return True                    return False # 无冲突        # 排列树递归模板    def backtrack(self, k): # 到达第k个位置         if k >= self.n:  # 超出最尾的位置            self.X.append(self.x[:]) # 注意x[:]        else:            for i in range(k, self.n): # 遍历后面第 k~n-1 的位置                self.x[k], self.x[i] = self.x[i], self.x[k]                if not self.conflict(k):    # 剪枝                    self.backtrack(k+1)                self.x[i], self.x[k] = self.x[k], self.x[i] # 回溯    def SovlePerm(self):        self.backtrack(0)        return self.X            # 测试if __name__ == '__main__':    test = PermTree([1,2,3,4])    res = test.SovlePerm()    print(res)   # [[1, 2, 3, 4], [1, 4, 3, 2], [2, 1, 4, 3], [2, 3, 4, 1], [3, 2, 1, 4], [3, 4, 1, 2], [4, 3, 2, 1], [4, 1, 2, 3]]

五大常用算法之