三角形（二十三）

事实上，关于对称的方法用的最多的是关于三角形内的角格点问题。这种题目在网上也经常可以看见，比如：

△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=30°，R为三角形内一点，∠RAC=∠RCB=20°，求∠RBC的度数。

这类题目有着极强的迷惑性，初看都觉得利用三角形的内角和是180°，加上加加减减就能套出来，你只要自己动手操作过就知道，想通过列方程的办法来解决角格点问题，未知数永远比方程多。

角格点问题是对称方法用的最多的一类平面几何题，但是这类题目难度过大，而且思路非常难找，很不自然，因此就不详细展开了，只做一般介绍，就是给各位提个醒，以后看见这种问题绕着走，千万别觉得很容易，我可真是个好人啊~

我们来看一下那些比较自然地能联想到对称的题目。

例：已知AD是五边形ABCDE的一条对角线，且∠EAD＞∠ADC，∠EDA＞∠DAB，求证：AE+ED＞AB+BC+CD。

我们第一个闪过的念头就是三角形两边之和大于第三边。问题是两边都是折线段，看起来这招没有用。

于是我们再回头看看题设条件。你会发现这个条件很有意思，为什么是∠EAD＞∠ADC和∠EDA＞∠DAB？这两组角是不是看起来很别扭？因为他们是呈对角状分布的，如果条件变成∠EAD＞∠BAD，∠EDC＞∠CDA是不是看起来会舒服很多？

为了让题目看起来舒服一点，我们作△EAD关于AD的对称轴a的对称图形△FAD，我们会发现AE+ED变成了AF+FD，此时是不是看起来就舒服多了，两组角从对角状变成了邻居了。

再接下来呢？

我们似乎还是没有办法，不过讲道理，你为什么觉得相邻的角看起来会舒服一些呢？

就是感觉。这种朴素的感觉如果再进一步，就可以把题目解决了。为什么把这个角换过来你会感觉舒服是因为觉得能比较大小了，继续懵圈的原因是因为发现好像并不能比较大小。

为了能够比较大小，我们还需要再做一次对称：把四边形ABCD做关于AD的对称四边形，我们会发现，整个四边形恰好都在△ADF的内部——理由就是因为∠FAD＞∠BAD，∠FDA＞∠CDA。

此时从几何直观上我们就会觉得命题是对的：两条都是往外凸的折线（即不是锯齿状的），外面哪条肯定比里面的要长，下一步就是：怎么证明呢？

我们手上的工具仍然只有三角形两边之和大于第三边，但是里面的折线该怎么处理？我们肯定需要一个跳板，这个跳板一定是可以利用上面结论的，对不对？

我们想，如果把四边形AB’和DC’延长交于P点，首先可以肯定P点一定是落在△FAD内的（为什么）。很显然，△PAD的周长是小于△AFD的。。。

这可并不显然哦~需要证明。没错，这就是属于“这也要证啊”的那种类型的数学题。我们延长AP交FD于Q，因为AF+FQ>AQ=AP+PQ，PQ+QD>PD，

所以AF+FQ+PQ+QD>AP+PQ+PD，即AF+FD>AP+PD。

又因为PB’+PC’>B’C’，所以

AP+PD=AB’+PB’+PC’+C’D>AB’+B’C’+C’D，于是命题得证。

本题中我们一开始用的是朴素的几何上的直觉完成了第一次对称变换；第二次是从条件推出来的对称变换，最后用的是三角形两边之和大于第三边。题目虽然不难，但是很有意思，可以细细品味一下。