面积计算（五）

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有很多人会问了：小学里都是计算题，你为什么讲证明？

其实数学里也分定性分析和定量分析。而定量分析一定是以定性分析为基础，定性分析一定是以基本概念为基础。长久以来，许多家长甚至有一部分老师认为学好数学的关键就在于刷题。刷多多的题，自然成绩就好了。

这个认识不能说完全错误，但是大部分是不对的。数学也是要靠理解的。我们做一定量的习题，只是为了提升计算熟练程度，要想把数学学好，一定要勤于思考，换而言之，定性分析做的好，这才是从根本上学好了数学。

小学里的证明题非常少，几乎没有，但是这并不意味着我们可以忽视这方面的训练，所以如果碰到了罕见的证明题，那就更要好好研究，想想怎么让孩子把整个过程说得毫无破绽。

当然，作为小学数学中的面积问题，最主要的还是定量计算，我们来看一些例子。

例   如图：把△ABC的边AB延长2倍到D，另一边AC延长3/2倍到E,得到一个较大的△ADE，则△ADE的面积是△ABC面积的多少倍？

如何计算两个三角形面积的比值？

从三角形的面积公式我们可以知道，三角形的面积和底和高有关，所以两个三角形面积的比值理论上说起来，只需要知道对应的底之间和对应的高之间的比值即可。

很显然，我们可以把AB和AD对应起来，AC和AE对应起来，但是对应的高怎么办？AB对应的高应该是从C往AB作垂线段的长度，我们记为CF，而AD对应的高应该是E往AD做的垂线段的高度，这两条线段的长度的比值如何计算？

当然如果我们学过平行线分线段成比例定理，那这个问题就迎刃而解了——但是对小学生来说没有学过，所以这个技能暂时不能用。

这时候应该怎么办？

事实上，如果AB和AD的高比不出来，那么AC和AE的高显然也是比不出来的，因此直接通过面积的两个要素的比值的路是行不通的。我们这时候要转弯了，怎么转？

最容易的三角形面积比的情况是怎么样的？同底不等高或者等高不同底。

但是在这个图里，我们似乎并没有直接能得到上述两种情况之一，于是很自然的想法，我们是不是应该找一块跳板？而找的原则就是上述两条。

那究竟是同底不等高还是等高不同底呢？

同底不等高需要的是高之间的比值，但是现在连一条垂线都没有，所以看起来等高不同底可能更合适一些。

对于△ABC来说，和它等高的三角形有谁呢？这里有一个比较简单的判别方法：我们可以过三角形任意一个顶点作这个点对应边的平行线（比如过A就作BC的平行线），不难发现，过A作BC的平行线后，甚至都招不到点能构成三角形。

于是我们过B点作AC的平行线，发现△BCE就是和△ABC等高不同底的三角形，而CE：AC=3:2，所以△BCE的面积和△ABC的面积比是3:2.

然后呢？

我们又发现△ABE的面积和△BDE的面积比是1:2，是不是就知道题目做完了？最后得到△ADE的面积是△ABC面积15/2倍。

在整个过程中，不要怕孩子犯错，关键在于诱导孩子怎么利用基本定义来想到找到中间跳板，显然连接BE是本题题眼所在——没错，这就是加辅助线的雏形。

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